Bonjour,
Je bloque sur deux problèmes :
1) On note m(a,b) la moyenne arithmético-géométrique de a et b. Pour tout
réel x positif, on note f(x) = m(x,1)
Montrer que la connaissance de f(x) pour x in IR+ est équivalente à celle
de m(a,b) pour (a,b) in (IR+)²
2) Montrer que si une fonction g : ]0,+oo[ -> IR est croissante et que x ->
g(x)/x est décroissante sur ]0,+oo[, alors g est continue.
C'est en fait les questions d'un problème qui m'empêche d'avancer.
Merci d'avance !
Jérôme
Moyenne arithmético-geométrique
9 messages
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Re: Moyenne arithmético-geométrique
par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:14
Matryce a écrit:
> Bonjour,
>
> Je bloque sur deux problèmes :
>
> 1) On note m(a,b) la moyenne arithmético-géométrique de a et b.
au risque de paraitre ignorant, c'est quoi ?
> Pour tout
> réel x positif, on note f(x) = m(x,1)
> Montrer que la connaissance de f(x) pour x in IR+ est équivalente à celle
> de m(a,b) pour (a,b) in (IR+)²
> 2) Montrer que si une fonction g : ]0,+oo[ -> IR est croissante et que x -> > g(x)/x est décroissante sur ]0,+oo[, alors g est continue.
>
> C'est en fait les questions d'un problème qui m'empêche d'avancer.
Utilise le fait qu'une fonction monotone admet une limite à gauche et à
droite en tout point. Tu n'a alors plus qu'à montrer que ce sont les
mêmes, en utilisant la décroissance de g(x)/x.
--
albert
> Bonjour,
>
> Je bloque sur deux problèmes :
>
> 1) On note m(a,b) la moyenne arithmético-géométrique de a et b.
au risque de paraitre ignorant, c'est quoi ?
> Pour tout
> réel x positif, on note f(x) = m(x,1)
> Montrer que la connaissance de f(x) pour x in IR+ est équivalente à celle
> de m(a,b) pour (a,b) in (IR+)²
> 2) Montrer que si une fonction g : ]0,+oo[ -> IR est croissante et que x -> > g(x)/x est décroissante sur ]0,+oo[, alors g est continue.
>
> C'est en fait les questions d'un problème qui m'empêche d'avancer.
Utilise le fait qu'une fonction monotone admet une limite à gauche et à
droite en tout point. Tu n'a alors plus qu'à montrer que ce sont les
mêmes, en utilisant la décroissance de g(x)/x.
--
albert
Re: Moyenne arithmético-geométrique
par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:14
Salut
>
> 2) Montrer que si une fonction g : ]0,+oo[ -> IR est croissante et que
x ->
> g(x)/x est décroissante sur ]0,+oo[, alors g est continue.
>
Si g est discontinue en a, alors il existe e>0 tel que pour tout t>0, il
existe x dans [a,a+t] avec |g(x)-g(a)|>=e. (On peut supposer sans perte de
généralité g discontinue à droite) Alors en prenant un tel x suffisamment
proche de a, on aura: g(x)/x - g(a)/a = (a*g(x)-x*g(a))/(a*x) du signe de
(a*g(x)-x*g(a)) >= a*(e+g(a))-x*g(a) = a*e + (a-x)*g(a) >0, ce qui est
absurde.
--
Julien Santini
>
> 2) Montrer que si une fonction g : ]0,+oo[ -> IR est croissante et que
x ->
> g(x)/x est décroissante sur ]0,+oo[, alors g est continue.
>
Si g est discontinue en a, alors il existe e>0 tel que pour tout t>0, il
existe x dans [a,a+t] avec |g(x)-g(a)|>=e. (On peut supposer sans perte de
généralité g discontinue à droite) Alors en prenant un tel x suffisamment
proche de a, on aura: g(x)/x - g(a)/a = (a*g(x)-x*g(a))/(a*x) du signe de
(a*g(x)-x*g(a)) >= a*(e+g(a))-x*g(a) = a*e + (a-x)*g(a) >0, ce qui est
absurde.
--
Julien Santini
Re: Moyenne arithmético-geométrique
par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:14
>> 1) On note m(a,b) la moyenne arithmético-géométrique de a et b.
>
> au risque de paraitre ignorant, c'est quoi ?
Euh désolé... En fait, à tout couple (a,b) on associe les suites (an) et
(bn) définies par a0=a, b0=b, an+1 = (an+bn)/2 et bn+1 = sqrt(an*bn)
On montre que ces deux suites convergent vers une même limite qu'on note
m(a,b). C'est la moyenne arithmético-géométrique de a et b.
> Pour tout
> réel x positif, on note f(x) = m(x,1)
> Montrer que la connaissance de f(x) pour x in IR+ est équivalente à celle
> de m(a,b) pour (a,b) in (IR+)²
>
> au risque de paraitre ignorant, c'est quoi ?
Euh désolé... En fait, à tout couple (a,b) on associe les suites (an) et
(bn) définies par a0=a, b0=b, an+1 = (an+bn)/2 et bn+1 = sqrt(an*bn)
On montre que ces deux suites convergent vers une même limite qu'on note
m(a,b). C'est la moyenne arithmético-géométrique de a et b.
> Pour tout
> réel x positif, on note f(x) = m(x,1)
> Montrer que la connaissance de f(x) pour x in IR+ est équivalente à celle
> de m(a,b) pour (a,b) in (IR+)²
Re: Moyenne arithmético-geométrique
par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:14
Matryce a écrit:[color=green][color=darkred]
>>>1) On note m(a,b) la moyenne arithmético-géométrique de a et b.
>>
>>au risque de paraitre ignorant, c'est quoi ?[/color]
>
>
> Euh désolé... En fait, à tout couple (a,b) on associe les suites (an) et
> (bn) définies par a0=a, b0=b, an+1 = (an+bn)/2 et bn+1 = sqrt(an*bn)
>
> On montre que ces deux suites convergent vers une même limite qu'on note
> m(a,b). C'est la moyenne arithmético-géométrique de a et b.[/color]
ok, j'aurais pu y penser :p
[color=green]
>>Pour tout
>>réel x positif, on note f(x) = m(x,1)
>>Montrer que la connaissance de f(x) pour x in IR+ est équivalente à celle
>>de m(a,b) pour (a,b) in (IR+)²[/color]
Cela donne envie de montrer que c*f(x) = f(c*x).
Soient a'n et b'n les termes de la suite définie plus haut et qui
converge vers f(c*x), et an et bn ceux de la même suite qui converge
vers f(x). On a a'0 = c*x = c*a0 et b'0 = c = c*b0. Alors si a'n = c*an
et que b'n = c*bn, a'(n+1)=... et b'(n+1)=..., ce qui montre que pour
tout n, a'n = c*an et b'n = c*bn, puis par passage à la limite...
--
albert
>>>1) On note m(a,b) la moyenne arithmético-géométrique de a et b.
>>
>>au risque de paraitre ignorant, c'est quoi ?[/color]
>
>
> Euh désolé... En fait, à tout couple (a,b) on associe les suites (an) et
> (bn) définies par a0=a, b0=b, an+1 = (an+bn)/2 et bn+1 = sqrt(an*bn)
>
> On montre que ces deux suites convergent vers une même limite qu'on note
> m(a,b). C'est la moyenne arithmético-géométrique de a et b.[/color]
ok, j'aurais pu y penser :p
[color=green]
>>Pour tout
>>réel x positif, on note f(x) = m(x,1)
>>Montrer que la connaissance de f(x) pour x in IR+ est équivalente à celle
>>de m(a,b) pour (a,b) in (IR+)²[/color]
Cela donne envie de montrer que c*f(x) = f(c*x).
Soient a'n et b'n les termes de la suite définie plus haut et qui
converge vers f(c*x), et an et bn ceux de la même suite qui converge
vers f(x). On a a'0 = c*x = c*a0 et b'0 = c = c*b0. Alors si a'n = c*an
et que b'n = c*bn, a'(n+1)=... et b'(n+1)=..., ce qui montre que pour
tout n, a'n = c*an et b'n = c*bn, puis par passage à la limite...
--
albert
Re: Moyenne arithmético-geométrique
par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:14
albert junior a écrit:
> Cela donne envie de montrer que c*f(x) = f(c*x).
Je me suis embrouillé dans les notations.
On veut montrer que : m(c*x,c) = c*m(x,1).
Soient a'n et b'n les termes de la suite définie plus haut et *de
premiers termes c*x et c*, et an et bn ceux de la même suite *de
premiers termes x et 1*. On a a'0 = c*x = c*a0 et b'0 = c = c*b0. Alors
si a'n = c*an et que b'n = c*bn, a'(n+1)=... et b'(n+1)=..., ce qui
montre que pour tout n, a'n = c*an et b'n = c*bn, puis par passage à la
limite... m(c*x,c) = c*m(x,1).
Ainsi en divisant m(a,b) par b si b est non nul on obtient bien m(a/b,1)
= f(a/b). Dans l'autre sens si je connais f(x) pour tout x je le connais
pour f(a/b) et alors b*f(a/b)=m(a,b).
Le seul problème est si b=0 mais alors la limite vaut clairement 0.
--
albert
> Cela donne envie de montrer que c*f(x) = f(c*x).
Je me suis embrouillé dans les notations.
On veut montrer que : m(c*x,c) = c*m(x,1).
Soient a'n et b'n les termes de la suite définie plus haut et *de
premiers termes c*x et c*, et an et bn ceux de la même suite *de
premiers termes x et 1*. On a a'0 = c*x = c*a0 et b'0 = c = c*b0. Alors
si a'n = c*an et que b'n = c*bn, a'(n+1)=... et b'(n+1)=..., ce qui
montre que pour tout n, a'n = c*an et b'n = c*bn, puis par passage à la
limite... m(c*x,c) = c*m(x,1).
Ainsi en divisant m(a,b) par b si b est non nul on obtient bien m(a/b,1)
= f(a/b). Dans l'autre sens si je connais f(x) pour tout x je le connais
pour f(a/b) et alors b*f(a/b)=m(a,b).
Le seul problème est si b=0 mais alors la limite vaut clairement 0.
--
albert
Re: Moyenne arithmético-geométrique
par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:15
Salut,
La définition donnée de la moyenne géométrique me paraît fort compliquée
(même si elle est vraie). Plus simplement, la moyenne géométrique de deux
nombres positifs a et b est égale par définition à racine(a*b).
Signalons aussi que la moyenne harmonique h de deux réels non nuls a et b,
c'est l'inverse de la moyenne de leurs inverses soit h=2/(1/a+1/b). Il n'est
pas utile de rappeler la moyenne arithmétique de deux nombres... Ce sont des
moyennes qui interviennent dans certains types de problèmes.
Revenons au problème posé: f(x) = racine (x).
Il est alors immédiat que m(a,b)=m(ab,1) d'où la réponse à la question.
Cordialement,
Séraphin Lampion
"Matryce" a écrit dans le message de news:
XnF95EE86C1E6C9Cbarilletifrancecon@212.27.42.79...[color=green][color=darkred]
>>> 1) On note m(a,b) la moyenne arithmético-géométrique de a et b.
>>
>> au risque de paraitre ignorant, c'est quoi ?[/color]
>
> Euh désolé... En fait, à tout couple (a,b) on associe les suites (an) et
> (bn) définies par a0=a, b0=b, an+1 = (an+bn)/2 et bn+1 = sqrt(an*bn)
>
> On montre que ces deux suites convergent vers une même limite qu'on note
> m(a,b). C'est la moyenne arithmético-géométrique de a et b.
>
>> Pour tout
>> réel x positif, on note f(x) = m(x,1)
>> Montrer que la connaissance de f(x) pour x in IR+ est équivalente à celle
>> de m(a,b) pour (a,b) in (IR+)²[/color]
La définition donnée de la moyenne géométrique me paraît fort compliquée
(même si elle est vraie). Plus simplement, la moyenne géométrique de deux
nombres positifs a et b est égale par définition à racine(a*b).
Signalons aussi que la moyenne harmonique h de deux réels non nuls a et b,
c'est l'inverse de la moyenne de leurs inverses soit h=2/(1/a+1/b). Il n'est
pas utile de rappeler la moyenne arithmétique de deux nombres... Ce sont des
moyennes qui interviennent dans certains types de problèmes.
Revenons au problème posé: f(x) = racine (x).
Il est alors immédiat que m(a,b)=m(ab,1) d'où la réponse à la question.
Cordialement,
Séraphin Lampion
"Matryce" a écrit dans le message de news:
XnF95EE86C1E6C9Cbarilletifrancecon@212.27.42.79...[color=green][color=darkred]
>>> 1) On note m(a,b) la moyenne arithmético-géométrique de a et b.
>>
>> au risque de paraitre ignorant, c'est quoi ?[/color]
>
> Euh désolé... En fait, à tout couple (a,b) on associe les suites (an) et
> (bn) définies par a0=a, b0=b, an+1 = (an+bn)/2 et bn+1 = sqrt(an*bn)
>
> On montre que ces deux suites convergent vers une même limite qu'on note
> m(a,b). C'est la moyenne arithmético-géométrique de a et b.
>
>> Pour tout
>> réel x positif, on note f(x) = m(x,1)
>> Montrer que la connaissance de f(x) pour x in IR+ est équivalente à celle
>> de m(a,b) pour (a,b) in (IR+)²[/color]
Re: Moyenne arithmético-geométrique
par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:15
"Nestor Alambic" a écrit dans le message de
news: 41fddced$0$26208$7a628cd7@news.club-internet.fr...
> Salut,
> La définition donnée de la moyenne géométrique me paraît fort
> compliquée (même si elle est vraie). Plus simplement, la moyenne
> géométrique de deux nombres positifs a et b est égale par définition à
> racine(a*b).
Il ne s'agit pas de la moyenne géométrique, mais de la moyenne
arithmético-géométrique...
Cordialement
Stéphane
news: 41fddced$0$26208$7a628cd7@news.club-internet.fr...
> Salut,
> La définition donnée de la moyenne géométrique me paraît fort
> compliquée (même si elle est vraie). Plus simplement, la moyenne
> géométrique de deux nombres positifs a et b est égale par définition à
> racine(a*b).
Il ne s'agit pas de la moyenne géométrique, mais de la moyenne
arithmético-géométrique...
Cordialement
Stéphane
Re: Moyenne arithmético-geométrique
par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:15
Salut
Exact Stéphane, cela m'apprendra à mal lire les énoncés...
Désolé
Nestor Alambic
"Stéphane Ménart" a écrit dans le message de
news: 41fde78e$0$25990$79c14f64@nan-newsreader-07.noos.net...
> "Nestor Alambic" a écrit dans le message de
> news: 41fddced$0$26208$7a628cd7@news.club-internet.fr...[color=green]
>> Salut,
>> La définition donnée de la moyenne géométrique me paraît fort compliquée
>> (même si elle est vraie). Plus simplement, la moyenne géométrique de deux
>> nombres positifs a et b est égale par définition à racine(a*b).
>
> Il ne s'agit pas de la moyenne géométrique, mais de la moyenne
> arithmético-géométrique...
>
> Cordialement
> Stéphane[/color]
Exact Stéphane, cela m'apprendra à mal lire les énoncés...
Désolé
Nestor Alambic
"Stéphane Ménart" a écrit dans le message de
news: 41fde78e$0$25990$79c14f64@nan-newsreader-07.noos.net...
> "Nestor Alambic" a écrit dans le message de
> news: 41fddced$0$26208$7a628cd7@news.club-internet.fr...[color=green]
>> Salut,
>> La définition donnée de la moyenne géométrique me paraît fort compliquée
>> (même si elle est vraie). Plus simplement, la moyenne géométrique de deux
>> nombres positifs a et b est égale par définition à racine(a*b).
>
> Il ne s'agit pas de la moyenne géométrique, mais de la moyenne
> arithmético-géométrique...
>
> Cordialement
> Stéphane[/color]
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