Triangle equilateral circonscrit/inscrit

[hammana]

Etant donné un triangle quelconque ABC
1 - Construire le triangle equilateral d'aire maximum circonscrit au triangle ABC
2 - Construire le triangle equilateral d'aire minimum inscrit dans le triangle ABC

[fm31]

Bonjour ,

pour 1 , il te faut tracer un triangle équilatéral sur le plus grand côté du triangle ABC et à l'extérieur du triangle . Ensuite tracer la parallèle au grand côté passant par le sommet opposé . Il ne te reste plus qu'à prolonger les côtés du triangle équilatéral sur cette parallèle pour avoir la réponse .

Pour 2 il faut commencer par tracer la bissectrice du plus grand angle et tu devrais trouver la suite

[hammana]

Bonjour ,

pour 1 , il te faut tracer un triangle équilatéral sur le plus grand côté du triangle ABC et à l'extérieur du triangle . Ensuite tracer la parallèle au grand côté passant par le sommet opposé . Il ne te reste plus qu'à prolonger les côtés du triangle équilatéral sur cette parallèle pour avoir la réponse .

Pour 2 il faut commencer par tracer la bissectrice du plus grand angle et tu devrais trouver la suite

Bonsoir !

Que je commence par le pls grand côté ,ou par le plus petit, j'obtiens le même triangle équilatéral, et ce n'est pas le plus grand.

Aurai-je proposé ce problème comme défi si c'était aussi simple ?

[Imod]

Bonsoir

Pour le 1 , le point de Fermat-Torricelli semble un bon candidat pour le centre du triangle .

Imod

[fm31]

Bonjour ,

Oui j'ai été un peu rapide sur une fausse intuition et surtout je n'ai pas vérifié .
J'ai une autre intuition mais pas encore de preuve à partir du théorème de Napoléon en traçant à partir des sommets A , B et C les parallèles au triangle de Napoléon .

[chan79]

Bonjour ,

Oui j'ai été un peu rapide sur une fausse intuition et surtout je n'ai pas vérifié .
J'ai une autre intuition mais pas encore de preuve à partir du théorème de Napoléon en traçant à partir des sommets A , B et C les parallèles au triangle de Napoléon .

oui, c'est un exo connu
les deux triangles sont "parallèles" au triangle de Napoléon

[hammana]

oui, c'est un exo connu
les deux triangles sont "parallèles" au triangle de Napoléon

Encore faut-il démontrer que l'un est la surface maximum et l'autre la surface minimum

[fm31]

Encore faut-il démontrer que l'un est la surface maximum et l'autre la surface minimum

Bonjour ,
avant les démonstrations , il y a la construction . Pour le triangle circonscrit pas de difficulté mais pour l'inscrit je n'ai pas trouvé .
On remarque que la surface du triangle circonscrit est 4 fois celle du triangle de Napoléon mais rien de semblable pour le triangle inscrit .
Cordialement

[chan79]

Bonjour ,
avant les démonstrations , il y a la construction . Pour le triangle circonscrit pas de difficulté mais pour l'inscrit je n'ai pas trouvé .
On remarque que la surface du triangle circonscrit est 4 fois celle du triangle de Napoléon mais rien de semblable pour le triangle inscrit .
Cordialement

Salut
La construction la plus connue est celle ci-dessous, je pense
ABC est le triangle quelconque
DEF le triangle de Napoléon
On trace une parallèle à (DE) qui coupe [CA] en G et [CB] en H.
On trace le triangle équilatéral GHI.
(CI) coupe (AB) en J.
Il reste à tracer le triangle JKL (en bleu) en menant par J des parallèles à (FE) et (FD).

[img][IMG]http://img513.imageshack.us/img513/7893/14685904.png[/img][/IMG]

[fm31]

Salut
La construction la plus connue est celle ci-dessous, je pense
ABC est le triangle quelconque
DEF le triangle de Napoléon
On trace une parallèle à (DE) qui coupe [CA] en G et [CB] en H.
On trace le triangle équilatéral GHI.
(CI) coupe (AB) en J.
Il reste à tracer le triangle JKL (en bleu) en menant par J des parallèles à (FE) et (FD).

[img][IMG]http://img513.imageshack.us/img513/7893/14685904.png[/img][/IMG]

Bonjour ,
je ne pensais pas que ce serait aussi simple . Reste les démo .
Merci pour le détail de la construction

[hammana]

Bonjour ,
je ne pensais pas que ce serait aussi simple . Reste les démo .
Merci pour le détail de la construction

Conseil: ne vous polarisez pas sur le triangle de Napoleon. Il vous sera plus facile de résoudre la question plus générale suivante (qui vous libérera du triangle de Napoléin):

Etant donnés deux triangles quelconques ABC et A1B1C1, construire le triangle de surface maximum circonscrit au triangle ABC et semblable au triangle A1B1C1.
(Penser d'abord à la question suivante: Deux points fixex M,N, lieu géométrique du point P si l'angle MPN reste constant).

En essayant de résoudre la question 2, je crois avoir trouvé un résultat fort intéressant dont je vous ferai part plus tard.

Pis-je demander à Chan comment fait-il pour dessiner ses figures géométriques.

[fm31]

Bonjour ,

moi j'utilise geogebra .

cordialement

[chan79]

Bonjour ,

moi j'utilise geogebra .

cordialement

même chose pour moi :zen:

[hammana]

Conseil: ne vous polarisez pas sur le triangle de Napoleon. Il vous sera plus facile de résoudre la question plus générale suivante (qui vous libérera du triangle de Napoléin):

Etant donnés deux triangles quelconques ABC et A1B1C1, construire le triangle de surface maximum circonscrit au triangle ABC et semblable au triangle A1B1C1.
(Penser d'abord à la question suivante: Deux points fixex M,N, lieu géométrique du point P si l'angle MPN reste constant).

En essayant de résoudre la question 2, je crois avoir trouvé un résultat fort intéressant dont je vous ferai part plus tard.

Pis-je demander à Chan comment fait-il pour dessiner ses figures géométriques.

Le résultat auquel je faisais allusion concerne la relation entre les aires des triangles inscrit et circonscrit que Chan a démontré. J'avais une solution compliquée pour la construction du triangle inscrit de surface minimum. Ce résultat montre que quand on a construit le triangle circonscrit de surface maximum (c'est relativement facile !) on a d'office trouvé le triangle inscrit de surface minimum.

A propos de triangles gigognes, j'ai trouvé le site suivant

http://mathafou.free.fr/pbg/jsp145.html

qui traite un problème que je m'étais posé et qui me paraissait insurmontable: Etant donnés deux triangles de côtés parallèles, le plus petit étant complètement intérieur à l'autre, comment construire le triangle inscrit dans l'un et circonscrit à l'autre. La solution est effectivement compexe, je ne veux pas investir du temps pour l'étudier.

[chan79]

Salut
La construction la plus connue est celle ci-dessous, je pense
ABC est le triangle quelconque
DEF le triangle de Napoléon
On trace une parallèle à (DE) qui coupe [CA] en G et [CB] en H.
On trace le triangle équilatéral GHI.
(CI) coupe (AB) en J.
Il reste à tracer le triangle JKL (en bleu) en menant par J des parallèles à (FE) et (FD).

[img][IMG]http://img513.imageshack.us/img513/7893/14685904.png[/img][/IMG]

La construction peut être mise en défaut pour des triangles ayant un angle proche de 180°.
Ce cas de figure doit être examiné séparément[img][IMG]http://img210.imageshack.us/img210/9421/trih.png[/img][/IMG]

[hammana]

Conseil: ne vous polarisez pas sur le triangle de Napoleon. Il vous sera plus facile de résoudre la question plus générale suivante (qui vous libérera du triangle de Napoléin):

Etant donnés deux triangles quelconques ABC et A1B1C1, construire le triangle de surface maximum circonscrit au triangle ABC et semblable au triangle A1B1C1.
(Penser d'abord à la question suivante: Deux points fixex M,N, lieu géométrique du point P si l'angle MPN reste constant).

En essayant de résoudre la question 2, je crois avoir trouvé un résultat fort intéressant dont je vous ferai part plus tard.

Pis-je demander à Chan comment fait-il pour dessiner ses figures géométriques.

Voici la solution au problème

Etant donnés deux triangles quelconques ABC et A1B1C1, construire le triangle de surface maximum circonscrit au triangle ABC et semblable au triangle A1B1C1.

Je mène de ABC les parallèles aux côptés du triangle A1B1C1. ils formentle triangle EFG. Je construis le cercle circonscrit à EBA de centre O1 et le cercle circonscrit à AFC de centre O2.
D'un point qque H de O1 je mène la droite HB et la droite HA qui coupe O2 en I. De I je mène la droite IC j'obtiens le triangle HIK circonscrit à ABC et semblable à A1B1C1. HI=2 fois la projection de O1O2 sur HI. il est maximum lorsque HI est parallèle à O1O2. Avec Geogebra (que je découvre grâce à Chan et fm31) en déplaçant H je peux voir évoluer le triangle circonscrit à ABC

[fm31]

Extra de simplicité . Remarquable . Merci pour cette solution .

[goods]

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