Découper un triangle équilatéral en trois

[Imod]

Bonsoir :we:

Question simple , réponse simple :

Pour quels entiers peut-on découper un triangle équilatéral en trois polygones superposables ( isométriques ) à côtés .

Amusez-vous bien :zen:

Imod

[Quidam]

Il me semble qu'il suffit que n soit supérieur à 2 !

Euh ! Non, au moins n impair ! J'ai répondu trop vite. Je corrige donc, il suffit que n soit impair et supérieur à 2. J'ignore si c'est nécessaire !

[Imod]

Il faut en effet traiter séparement les cas pair ou impair :zen:

Imod

[Quidam]

Il faut en effet traiter séparement les cas pair ou impair :zen:

Imod

Exact ! Mais je viens de constater qu'il n'est pas plus difficile de résoudre le cas n pair que le cas n impair ! Je reviens donc à ma première réponse :

[Imod]

Il reste à expliciter la construction qui peut rappeler un peu celle du problème "Commerce équitable" .

Imod

[Quidam]

Il reste à expliciter la construction qui peut rappeler un peu celle du problème "Commerce équitable" .

Imod

Bah ! Un dessin vaut mieux qu'un long discours. Un exemple n'est-il pas suffisant ?
Voici un exemple pour n=13.



En gros, toute ligne brisée de n segments partant d'un sommet et arrivant au centre du triangle, accompagnée de ses deux transformées par des rotations autour du centre de et de fera l'affaire, pourvu qu'elle ne les coupe pas. Cela formera trois polygones ayant 2n+1 cotés.
De même, si l'on fait partir cette ligne d'un point de l'un des cotés, strictement distinct des sommets, on aura alors un polygone de 2n+2 cotés.

[Imod]

C'est bien l'idée , comme toujours très simple quand on l'a vue :++:

Imod

[Patastronch]

Et si on impose que les polygones doivent etre convexe ?

[Imod]

Possible pour n=3 , pour les autres valeurs , j'ai des doutes :hein:

Imod

[Patastronch]

Possible pour n=3 , pour les autres valeurs , j'ai des doutes :hein:

Imod

n=4 j'ai trouvé. POur les autres j'ai des doutes aussi

[Imod]

Oui n=4 marche aussi ( j'étais resté sur le dessin de Quidam :--: ) A mon avis à partir de n=5 on doit pouvoir montrer que c'est impossible par l'absurde ( désolé leon :zen: ) en observant les angles sur deux sommets consécutifs à l'intérieur du triangle . Mais ça n'a pas l'air évident à formuler proprement :hum:

Imod

[Patastronch]

Pour n>=6 j'ai une idée de demo :

Chaque polygone aura au moins 6 faces. Comme chaque polygone est convexe, si on suppose qu'un pavage du triangle existe alors ils ne peuvent partager qu'un coté au plus en commun. Ils peuvent egalement partager 3 cotés au plus avec le triangle. A partir de 6 cotées on a donc au moins un coté de chaque polygone en contacte avec rien => ce n'est pas un pavage.

[Imod]

En effet , limpide :we: , reste le cas n=5 !

Imod