DM fonction numérique

[mimidu11]

Bonjour à tous. J'ai un DM à faire sur les fonctions numériques et je ne suis pas du tout forte à ce sujet. J'espère que vous pourrez m'aider à faire mon exercice.
Merci beaucoup d'avance.

Exercice
On donne trois expressions de l'image f(x) d'un réel x différent de 1 par une fonction f :
(1) f(x)= (3x-1)/(x-1)
(2) f(x)= 3+(2/(x-1))
(3) f(x)=1+(2x/(x-1))

1° Vérifier que ces trois expressions sont cohérentes.
2° Dans chacun des cas suivants, indiquer l'expression qui vous paraît la plus adaptée pour répondre au problème posé.
a) Etudier les variations de la fonction f
b) Resoudre l'équation f(x)=0
c) Résoudre l'inéquation f(x)<1
d) Trouver un encadrement de f(x) lorsque x appartient à l'intervalle [-2;0].

POur le 1° je pense commencer à développer la (1)

[Sylviel]

1) il faut que tu montres quel'on peut passer de l'une à l'autre des expressions (là il s'agit de jouer avec les fractions, rien du côté des fonctions :-). Il vaut mieux partir de la 2 et 3 et s ramener à la 1 : c'est beaucoup plus facile que dans l'autre sens !

2 a) : pour regarder les variations il vaut mieux qu'il y ait le moins possible de choses qui bougent
b) souviens toi ce qui est semble pour résoudre des trucs du type ... = 0
c) cherche une expression de f où 1 appraît...

[mimidu11]

OK. Alors on développe (2)
3+(2/(x-1)) = 3(x-1)/x-1 + 2/x-1 = 3x-3+2/x-1 = 3x-1/x-1
On retrouve (1)
Puis on développe (3)
1+(2x/x-1) = 1(x-1)/x-1 + 2x/x-1 = x-1+2x/x-1 = 3x-1/x-1
On retrouve aussi (1)
Les 3 expressions sont donc cohérentes.

Pour le 2° je fais un tableau de signe au brouillon puis je met en place mon tableau de variations avec l'expression (1)

[Sylviel]

Non, tu confonds signe et variations là. ici il vaut mieux isoler le x (prendre l'expression où il n'y en a qu'un) et réfléchir un peu...

[mimidu11]

x-1=0 donc x=1

Le tableau de variations n'a que des flèches qui descendent et 1 est une valeur interdite


2)b)
Avec 3x-1/x-1 (1)
3x-1 < 1
3x < 1+1
3x < 2
x < 2/3

x-1 < 1
x < 1+1
x < 2

[mimidu11]

2°)a) En fait je n'ai pas à le faire dans mon DM

2°)b)
f(x)=0 avec l'expression (1) soit 3x-1=0
3x=1
x=1/3
La solution de l'équation est x=1/3

2°)c)
Avec l'expression (3)
1+(2x)/(x-1)

x / .........-l'infini ..............0..................1................. +l'infini......
2x /........... - ...................0.... + ................................ + ..........
x-1 / ......... - ........................ - .......... 0 ................... + ..........
(2x)/x-1 / .... + .................../.... - ..........//.................... + ..........

La fonction est strictement positive sur ] -l'infini ; 0 ]U] 1 ; +l'infini [ et strictement négative sur [0;1[

2°)d)
J'ai essayer, mais je ne pas sûr

f(x) = (3x-1)/(x-1) avec [-2;0]

-2 < x < 0
-2(x-1)/x-1 < 3x-1/x-1 < 0(x-1)/x-1
-2x-2/x-1 < 3x-1/x-1 < 0
La fonction est décroissante sur R*-
ou sur [-2;0]

Est-ce cela ?