Définition vecteur

[Judoboy]

Salut à tous, je donne des cours de maths à une élève de 1ère S, et j'ai du mal à lui faire comprendre ce que c'est qu'un vecteur (dans le plan ou dans l'espace). Ce qui me gêne c'est qu'à aucun moment dans le cours ils définissent ce qu'ils appellent un vecteur, dans le bouquin et dans son cahier bah en gros un vecteur c'est une flèche et ça s'arrête là.

Je lui ai dit que c'était un point du plan mais à a l'air de l'embrouiller encore plus. En même temps je vais pas non plus lui dire que c'est une flèche c'est débile.

Bref y a des profs de maths ou des élèves qui pourraient me dire comment on vous a défini les vecteurs ?

[Ramanujan71]

Salut à tous, je donne des cours de maths à une élève de 1ère S, et j'ai du mal à lui faire comprendre ce que c'est qu'un vecteur (dans le plan ou dans l'espace). Ce qui me gêne c'est qu'à aucun moment dans le cours ils définissent ce qu'ils appellent un vecteur, dans le bouquin et dans son cahier bah en gros un vecteur c'est une flèche et ça s'arrête là.

Je lui ai dit que c'était un point du plan mais à a l'air de l'embrouiller encore plus. En même temps je vais pas non plus lui dire que c'est une flèche c'est débile.

Bref y a des profs de maths ou des élèves qui pourraient me dire comment on vous a défini les vecteurs ?

Mon prof de maths a beaucoup insisté sur la notion de translation.

[chan79]

Salut à tous, je donne des cours de maths à une élève de 1ère S, et j'ai du mal à lui faire comprendre ce que c'est qu'un vecteur (dans le plan ou dans l'espace). Ce qui me gêne c'est qu'à aucun moment dans le cours ils définissent ce qu'ils appellent un vecteur, dans le bouquin et dans son cahier bah en gros un vecteur c'est une flèche et ça s'arrête là.

Je lui ai dit que c'était un point du plan mais à a l'air de l'embrouiller encore plus. En même temps je vais pas non plus lui dire que c'est une flèche c'est débile.

Bref y a des profs de maths ou des élèves qui pourraient me dire comment on vous a défini les vecteurs ?

tu peux dire que deux couples de points (A,B) et (C,D) définissent le même vecteur si ABDC est un parallélogramme. On écrit alors =

[Judoboy]

tu peux dire que deux couples de points (A,B) et (C,D) définissent le même vecteur si ABDC est un parallélogramme. On écrit alors =

Certes mais ça ne me dit pas ce que c'est qu'un vecteur.

[chan79]

Certes mais ça ne me dit pas ce que c'est qu'un vecteur.

c'est une classe d'équivalence de bipoints. Ca fait longtemps qu'on n'en parle plus, ni au collège, ni au lycée.
(A,B) R (C,D) si [AD] et [BC] ont le même milieu
La classe d'équivalence de (A,B) se note

[Nightmare]

Hello,

à ce niveau on peut dire qu'un vecteur est la donnée d'une direction, d'un sens et d'une longueur.

[Anonyme]

Je suis d'accord avec "la définition de Nightmare"
et pour les introduire on parle de translation de vecteur
avec en exemple "le parallélogramme"

[Judoboy]

Hello,

à ce niveau on peut dire qu'un vecteur est la donnée d'une direction, d'un sens et d'une longueur.

Bah en physique j'ai l'impression que c'est ce qu'ils utilisent mais en maths ils les écrivent sous la forme (Xb-Xa,Yb-Ya) ; en gros c'est la donnée d'un couple de réels donc c'est un point du plan mais j'ai l'impression de les embrouiller encore plus en disant ça. Je vais tenter avec sens direction et longueur mais c'est beaucoup moins pratique à utiliser vu qu'ils s'en servent que dans le plan muni d'un repère orthonormé donc les coordonnées c'est ce qu'il y ade plus simple à manier...

[Nightmare]

l'un n'empêche pas l'autre. Ils dénotent les vecteurs par des coordonnées, mais il faut bien leur faire comprendre que ce ne sont pas des coordonnées de localisation dans le plan comme peuvent l'être celles d'un point.

[Judoboy]

Bah formellement un vecteur c'est un élément de R2 donc théoriquement y a aucune différence avec un point du plan non ? Ou alors j'ai raté un truc quand j'étais au lycée :D

[Nightmare]

Non justement, un vecteur n'est pas un élément de R², c'est une classe d'équivalence, donc théoriquement un vecteur est un ensemble.

Maintenant, on peut identifier un vecteur à un élément de R², mais cette identification fait perdre sa nature au vecteur.

Tout dépend de comment on voit R², comme espace vectoriel ou espace affine. Si on le voit comme un ev, alors tout est vecteur. Si on le voit comme un espace affine, qui est le bon cadre pour faire de la géométrie euclidienne, alors il y a des points et des vecteurs qui sont, comme l'a dit Chan79, des classes d'équivalences de couples de points.

[Skullkid]

Quand j'étais en seconde il n'était pas rare de voir quelqu'un écrire une addition du type "vecteur + nombre", donc à mon avis il vaut mieux insister sur le "typage" des objets... quitte à ce que la déconstruction des notions soit plus difficile une fois l'élève arrivé dans le supérieur.

Je pencherais pour la définition donnée par Nightmare (donnée de la direction, du sens et de la norme). Quand on me l'a appris la première fois on avait rajouté la donnée d'une origine, en vue de l'utilisation en physique (le poids est un vecteur qui s'applique en un point précis), et l'histoire des classes d'équipollence était présentée comme un théorème (enfin un axiome quoi) qui permettait de vérifier l'égalité ou non de deux vecteurs lorsqu'ils ont deux origines différentes.

[Anonyme]

Bah formellement un vecteur c'est un élément de R2 donc théoriquement y a aucune différence avec un point du plan non ? Ou alors j'ai raté un truc quand j'étais au lycée

Voici une très courte preuve de ce raconte Nightmare

Soit un parallélogramme

On a et pourtant et

A partir de cette "observation" que peut on en déduire ?

[Judoboy]

Quand j'étais en seconde il n'était pas rare de voir quelqu'un écrire une addition du type "vecteur + nombre", donc à mon avis il vaut mieux insister sur le "typage" des objets... quitte à ce que la déconstruction des notions soit plus difficile une fois l'élève arrivé dans le supérieur.

Ok avec ça même si je comprends pas trop ce qui se passe dans la tête des gens qui font le programme dans le secondaire.

Je pencherais pour la définition donnée par Nightmare (donnée de la direction, du sens et de la norme). Quand on me l'a appris la première fois on avait rajouté la donnée d'une origine, en vue de l'utilisation en physique (le poids est un vecteur qui s'applique en un point précis), et l'histoire des classes d'équipollence était présentée comme un théorème (enfin un axiome quoi) qui permettait de vérifier l'égalité ou non de deux vecteurs lorsqu'ils ont deux origines différentes.

Bah le problème c'ets qu'ils s'en servent qu'en utilisant les coordonnées et jamais le "sens direction norme" que je sais même pas comment définir proprement.

L'histoire des vecteurs qui ont une origine ça me paraît être du grand n'importe quoi même si ça a du sens quand on fait de la physique.

Mais je sais toujours pas lui donner une définition claire et exploitable (sens direction norme c'est OK mais ils présentent tout le temps les vecteurs sous la forme (xB-xA,yB-yA) et pas direction sens norme), sachant qu'elle est pas "naturellement" forte en maths...

[chan79]

Mais je sais toujours pas lui donner une définition claire et exploitable (sens direction norme c'est OK mais ils présentent tout le temps les vecteurs sous la forme (xB-xA,yB-yA) et pas direction sens norme), sachant qu'elle est pas "naturellement" forte en maths...

La seule définition "propre" dans le plan affine, c'est les classes d'équivalence de bi-points. Ca n'a jamais été compris, et on l'a enlevé des programmes depuis longtemps.
Ensuite, on a "magouillé" plus ou moins.
Il m'est arrivé d'amener ça en faisant deux symétries centrales:
On place deux points A et B et un point M.
On place le point M', symétrique de M par rapport à A.
On place le point M'', symétrique de M' par rapport à B.
On trace le segment [MM'].
On recommence en plaçant un autre point, disons N, et on trace [NN'] etc...
Ensuite on place un point P et on demande aux élèves de deviner où est le point P''.
Le but du jeu étant que tous les élèves lèvent la main avec un grand sourire et parlent de parallélisme, de même longueur et de même sens.
Ensuite le prof écrit la belle égalité
Il y a eu une période où il était conseillé de commencer par les coordonnées.
On a aussi parlé des translations avant les vecteurs ! En parlant de la translation qui transforme A en B. Ca ne m'a pas convaincu du tout.
Pour moi, la définition par le parallélogramme n'est pas mal.
si MM"N"N est un parallélogramme. C'est une figure bien étudiée au collège dès la 5°. Pas de souci avec les côtés opposés parallélèles et de même longueur.
ABCD est un parallélogramme si [AD] et [BC] ont le même milieu.
On a donc:



soit




soit



on voit donc que les variations de coordonnées sont les mêmes pour deux vecteurs égaux. On les appelle les coordonnées du vecteur

[Cryptocatron-11]

Non justement, un vecteur n'est pas un élément de R², c'est une classe d'équivalence, donc théoriquement un vecteur est un ensemble.

Maintenant, on peut identifier un vecteur à un élément de R², mais cette identification fait perdre sa nature au vecteur.

Tout dépend de comment on voit R², comme espace vectoriel ou espace affine. Si on le voit comme un ev, alors tout est vecteur. Si on le voit comme un espace affine, qui est le bon cadre pour faire de la géométrie euclidienne, alors il y a des points et des vecteurs qui sont, comme l'a dit Chan79, des classes d'équivalences de couples de points.

Je crois qu' un espace affine de dim 2 par exemple, est un plan (qui contient une infinité de points) et il est sans repère. Mais pourtant, on devrait bien pouvoir repérer chaque point, non ? Exemple pour un point A, ce point devrait bien être donné par (x_a,y_a). Comment fait on pour déterminer x_a et y_a sans repère ... ?

[Gabriel de Smartcours.com]

En tant que professeur particulier, ce qui marche le mieux c'est de définir le vecteur par :

- sa direction,
- son sens,
- sa norme.

Puis je montre différents vecteurs et je demande lequel est égal auquel.

Puis je montre un segment (qui n'a pas de sens) et je lui demande si c'est un vecteur.

Pour finir, j'insiste lourdement sur le fait qu'un vecteur n'est pas égal à un nombre mais à un autre vecteur!

Les autres explications embrouillent. Alors plutôt que de définir un vecteur, je lui donne ses caractéristiques.

[Sylviel]

J'ai une approche très intuitive des maths. Du coup je présente un vecteur comme un mouvement - ie la translation associé mais sans utiliser ce mot barbare - ainsi le vecteur AB est le mouvement de A vers B. Du coup AB+BC c'est le mouvement de A vers B puis de B vers C, on voit donc naturellement que cela donne AC. Ensuite je fais déterminer les caractéristiques du mouvement (direction, norme, sens), puis je fais comprendre que le mouvement peut partir de points différents, donc avoir des tracés différents sur le plan.

En gros je rejoint la démarche de Gabriel, mais en commençant par donner une intuition plutôt qu'une liste de caractéristiques. Ca marche généralement bien.