Calculs matriciel - Conjugaison de matrice

[MacErmite]

Bonsoir,

je bloque sur un exercice concernant les conjugués de matrice. J'ai un transformation
et je dois démontré que A est conjugué de

D'après le "cours" on a une application linéaire, F afin d'obtenir
Je dois donc trouver l'expression de F. Mais je ne vois absolument pas comment aborder ce problème.

Pouvez-vous m'aider ?

Merci.

[Nightmare]

Salut !

Alors, il faut réfléchir à ce que veut dire "conjugué". Il me semble que tu n'es pas familier avec la corrélation entre matrices et endomorphismes dans une base donc on va essayer de parler strictement matrices.

Pour cela, je me permets de réécrire l'égalité comme ceci (j'ai multiplié à gauche par F).

----------------------------------------------------------------

Je reviendrai sur cette égalité plus tard, je vais juste m'attarder sur cette supposée F qui est une matrice inversible.
Tu as dû voir en cours ce qu'était une matrice inversible et peut être (surement même) un algorithme qui permet d'inverse une matrice. Celui-ci consiste à faire des opérations élémentaires sur la matrice jusqu'à obtenir la matrice identité. On effectue ces mêmes opérations à la matrice identité, la matrice obtenue est alors l'inverse de la matrice de départ.

Ce qui est important dans cet algorithme c'est qu'on a dégagé le fait que n'importe quelle matrice inversible peut s'obtenir à partir de la matrice identité en faisant simplement des opérations élémentaires.
Je rappelle les opérations élémentaires :
- Echanger de deux lignes ou de deux colonnes
- Multiplier une ligne par un scalaire
- Faire une combinaison linéaire des lignes et des colonnes.

Ces opérations élémentaires que l'on fait sur une matrice peuvent être vues comme des multiplications de la matrice d'origine par ce qu'on appelle alors des matrices élémentaires. Je rappelle au passage que le produit matriciel n'est pas commutatif, on distingue donc la multiplication à gauche et la multiplication à droite. Il s'avère que, pour une matrice élémentaire, multiplier à gauche revient à faire une opération sur les lignes et multiplier à droite revient à faire une opération sur les colonnes.
Autrement dit, échanger les lignes 1 et 2 d'une matrice A revient à la multiplier, à gauche, par une certaine matrice E (que je te laisse aussi déterminer !) et si j'avais voulu échanger cette fois-ci les colonnes 1 et 2 il aurait fallu que je multiplie à droite par cette même matrice E.

Bref, tout ça pour dire que finalement, une matrice inversible c'est simplement un produit de matrices élémentaires, l'effet qu'elle aura donc quand on la multipliera à une matrice sera une succession d'opérations élémentaires.

------------------------------------------------------------------------

Je peux maintenant revenir sur l'égalité . On cherche donc une matrice F, inversible, qui multiplie à gauche B, et à droite A, et telle que les deux matrices obtenues soient égales. D'après ce qu'on vient de dire, cela revient donc à chercher une succession d'opérations élémentaires sur les lignes de B telles que, si on effectuait ces mêmes opérations mais cette fois-ci sur les colonnes de A, on obtiendrait le même résultat.

Maintenant si on s'intéresse au contenue de A et B, on voit que pour passer de A et B, on a effectuée les même permutations sur les lignes et les colonnes.

A savoir qu'on a échangé la ligne 1 en la ligne 3, la ligne 3 en la ligne 2, la ligne 2 en la ligne 1, et qu'on a effectué la même permutation sur les colonnes !

A partir de là et de tout ce que j'ai dit, je te laisse en déduire que tes matrices sont conjuguées!

:happy3:

[MacErmite]

Merci pour toutes ces explications.

Je me suis lancé dans des calculs très lourds, comme d'habitude, et je suis convaincue que cela ne ménera nul part. J'ai posé une matrice F avec des vecteurs colonnes (a, b, c,...) Puis j'ai posé FB=AF, developpé et identifier les égalités pour chaque .Biensûr j'obtiens une usine à gaz qui n'apporte aucune avancé à ce problème :mur:

...
Ce qui me navre le plus c'est que tu t'es donné beaucoup de mal pour m'expliquer tout cela :marteau:

[Ben314]

Salut,
La méthode que tu propose est longue, fastidieuse, mais devrait conduire au résultat (ou plutôt à un résultat : si on trouve une matrice F telle que FB=AF, alors tout multiple par un scalaire de F donne encore une solution)

Pour essayer de faire le "lien" entre les deux méthodes, ce que te dit nightmare, c'est que l'on peut "passer" de A à B par des échanges de lignes colonnes et cela signifie que la matrice F est ce que l'on appelle une "matrice de permutation", c'est à dire une matrice contenant exactement un '1' par ligne et par colonne (le reste étant nul).
Il n'y a que 6=3! matrice de permutation 3x3.
Si ce que te dit Nightmare n'est pas super clair, prend une des 6 matrices de permutations et regarde ce qui ce passe quand on multiplie à droite [respectivement à gauche] une matrice quelconque (a b c...) par cette matrice de permutation.

[alavacommejetepousse]

bonjour

mac ermite ne connait pas la représentation matricielle d'un endomorphisme dans une base ?

[Nightmare]

Si ce que te dit Nightmare n'est pas super clair

j'ai pourtant essayé de faire de mon mieux :triste:

[Ben314]

j'ai pourtant essayé de faire de mon mieux :triste:

J'ai quand même l'impression (et c'est ce que MacErmite sous entend) que les cours d'algèbre linéaires du C.N.E.D., c'est un peu bizare...
En particulier, il me semble que de parler de conjugaison de matrice alors qu'on n'a pas vu les matrices associées à des endomorphismes (et donc les changement de base), je suis pas certain que ce soit malin.
[sauf peut être dans le cadre de conjuguer une matrice pour trouver une matrice diagonale que l'on peut "vendre" comme une méthode rapide de calcul de toutes les puissances de la matrice de départ]

[MacErmite]

Salut,
La méthode que tu propose est longue, fastidieuse, mais devrait conduire au résultat (ou plutôt à un résultat : si on trouve une matrice F telle que FB=AF, alors tout multiple par un scalaire de F donne encore une solution)

Pour essayer de faire le "lien" entre les deux méthodes, ce que te dit nightmare, c'est que l'on peut "passer" de A à B par des échanges de lignes colonnes et cela signifie que la matrice F est ce que l'on appelle une "matrice de permutation", c'est à dire une matrice contenant exactement un '1' par ligne et par colonne (le reste étant nul).
Il n'y a que 6=3! matrice de permutation 3x3.
Si ce que te dit Nightmare n'est pas super clair, prend une des 6 matrices de permutations et regarde ce qui ce passe quand on multiplie à droite [respectivement à gauche] une matrice quelconque (a b c...) par cette matrice de permutation.

Cette méthode de passage d'une matrice vers une autre ressemble à une technique permettant d'exprimer l'inverse d'une matrice. On utilise la matrice Identité, et celle-ci subit les transformations de la matrice à inverser...

[Nightmare]

Cette méthode de passage d'une matrice vers une autre ressemble à une technique permettant d'exprimer l'inverse d'une matrice. On utilise la matrice Identité, et celle-ci subit les transformations de la matrice à inverser...

N'est-ce pas la méthode dont je fais allusion dans mon premier post?

Tu as dû voir en cours ce qu'était une matrice inversible et peut être (surement même) un algorithme qui permet d'inverse une matrice. Celui-ci consiste à faire des opérations élémentaires sur la matrice jusqu'à obtenir la matrice identité. On effectue ces mêmes opérations à la matrice identité, la matrice obtenue est alors l'inverse de la matrice de départ.

[MacErmite]

Oui, mais je ne sais pas comment cité deux personnes en même temps. Ton aide m'a permis de consolider certaines notions. Encore merci :++:

[MacErmite]

Résultat de l'usine à gaz, avec
...

J'obtiens une matrice de la forme :

[Ben314]

Cela parait extrêmement cohérent.
Parmi ces matrices, celle que suggérais nightmare correspond au cas particulier (le plus simple) alpha=0 ; beta=1 ; gamma=1 qui est une matrice "de permutation"