Cardinaux des classes de conjugaison

[Nightmare]

Hello,

Quels sont les n pour lesquels les cardinaux des classes de conjugaison dans le groupe des permutations d'ordre n sont tous distincts?

J'ai bien l'impression après des tests sur les premiers entiers que ça ne se produit jamais à part pour n=3, mais pas d'idée pour montrer que c'est le seul...

[Doraki]

Pour n >= 5, j'crois qu'il y a autant de permutations qui se décomposent en
un (n-2)-cycle et une transposition,
que de permutations qui se décomposent en un (n-2)-cycle et deux points fixes.

[Ben314]

J'ai pas totalement regardé le sens de la question (en résumé je suis pas sûr de pas répondre à coté) mais il y a un truc "trés spécial" pour n=6 qui est le seul entier "non trivial" pour lequel il y a un automorphisme exterieur dans Sn (de mémoire, il envoie les 2-cycles sur les 3x2-cycles et les 3-cycles sur les 2x3-cycles) : pour ce n là, il y a donc différentes classes de conjugaisons qui ont le même cardinal (à savoir la classe des 2-cycles et celle des 3x2-cycles)

[Nightmare]

Salut à tous les deux !

J'ai fini par trouver comme Doraki. J'aurais aimé trouver une méthode plus algébrique et un peu moins calculatoire, le coup des automorphismes extérieur est joli mais comme le dis Ben ne marche que pour n=6.

Je pensais pouvoir travailler sur la formule des classes, mais ça ne donne rien

[Ben314]

Je sais pas si il y a bien d'autres méthodes...
Pour montrer que n=6 est le seul cas où il y a un automorphisme extérieur, on compte (évidement) le nombre d'éléments de chaque classe de conjugaisons et on passe par des "grosses formules" avec des coeffs. binomiaux.
La différence avec ta question réside simplement dans le fait qu'ensuite, on regarde s'il existe des classes de conjugaisons distinctes ayant le même nombre d'éléments, mais aussi dont les éléments ont le même ordre dans les deux classes vu qu'un automorphisme même exterieur doit envoyer des éléments d'ordre p sur des éléments d'ordre p.

Si tu n'as jamais fait ces calculs (en général Aut(An)=Aut(Sn)=Int(Sn)=Sn, et Int(An)=An), le cas n=6 est... assez étrange et je ne connais aucune explication "simple" de cette "exeption à la règle".

[Ben314]

En fait, le nombre de permutations composées de 1-cycles (= points fixes), 2-cycles , 3-cycles ... ( avec ) est et, effectivement, remplacer par ne change pas le résultat.