Analyse combinatoire

[Gildo]

Donner un argument combinatoire de la formule:
Pour tout n ;) 4 C_{n+1};)=((C_{C_{n}²}²)/3).
Justifier très clairement votre réponse.

[adrien69]

Donner un argument combinatoire de la formule:
Pour tout n 4 C_{n+1};)=((C_{C_{n}²}²)/3).
Justifier très clairement votre réponse.

Bonjour à toi aussi...



Ça a l'air génial, mais c'est quoi ?

[L.A.]

Bonsoir.

Je n'ai pas la réponse à la question, mais est l'ancienne écriture du coefficient binômial .

[Archytas]

Salut !
On peut utiliser le triangle de pascal :

Tu l'appliques fois et t'as

T'as plus qu'à factoriser par et à passer sous forme polynomiale factorisée et tu retrouves

[adrien69]

On écrit notre ensemble {1,...,n}, une partie à deux éléments d'une partie à deux éléments de ça s'écrit {{a,b},{c,d}}, ce qui est une partie à 4 éléments à la seule condition que a,b,c,d soient tous distincts. Comme il y a quatre façons possibles d'avoir des parties à deux éléments de parties à deux éléments : {{a,b},{c,d}}, {{a,b},{b,c}}, {{a,b},{a,b}} et {{a,b},{a,c}}, le cardinal vaut 4 parmi n plus 3 parmi n plus 3 parmi n plus 2 parmi n, et c'est bon.

[adrien69]

Salut !
On peut utiliser le triangle de pascal :

Tu l'appliques fois et t'as

T'as plus qu'à factoriser par et à passer sous forme polynomiale factorisée et tu retrouves

C'est pas une méthode combinatoire ça Archytas.

[Archytas]

C'est pas une méthode combinatoire ça Archytas.

Merde j'savais pas ce que c'était. C'est avec des mots qu'il faut le résoudre ?
Tant pis c'était rigolo en tout cas !

[lapras]

Avec une méthode combinatoire ça signifie (informellement) en établissant des bijections entre certains ensembles bien choisis.

[Gildo]

Bonsoir à tous. Merci pour toutes les réponses. Je pense que la réponse de Adrien69 corresponde au type de réponse que je cherche. Mais je ne comprend pas encore bien la dernière partie de la réponse. je le relirai pour voir.

[lapras]

Si ça peut t'aider voici ce qui est probablement équivalent à la réponse d'Adrien69 :

On considère l'ensemble P des paires {a,b} de {1,...,n} (avec a différent de b !). Il y en a (2 parmi n). Maintenant on considère l'ensemble des paires d'éléments de P, il y en a (2 parmi Card(P)) = (2 parmi (2 parmi n)).
On peut distinguer 2 types de paires d'éléments de P :

a) les paires de la forme {{a,b}{c,d}} avec a,b,c,d distincts ; il y en a 3*(4 parmi n) car une telle paire est la donnée de 4 éléments a,b,c,d distincts et d'un choix parmi les 3 paires possibles {{a,b}{c,d}}, {{a,c}{b,d}}, {{a,d}{b,c}}

b) les paires de la forme {{a,b}{a,c}} avec b et c distincts ; il y en a 3*(3 parmi n) car il faut choisir 3 éléments a,b,c distincts de {1,...,n} puis choisir lequel sera l'élément commun aux deux paires (3 possibilités : a, b ou c).

Donc : (2 parmi (2 parmi n)) = 3*(4 parmi n) + 3 *(3 parmi n) = 3*( (4 parmi n) + (3 parmi n) ) = 3*(4 parmi (n+1) ) (c'est là que je vois apparaître le (n+1), dommage que ce n'est pas "directement" combinatoire).

[Archytas]

Si ça peut t'aider voici ce qui est probablement équivalent à la réponse d'Adrien69 :

On considère l'ensemble P des paires {a,b} de {1,...,n} (avec a différent de b !). Il y en a (2 parmi n). Maintenant on considère l'ensemble des paires d'éléments de P, il y en a (2 parmi Card(P)) = (2 parmi (2 parmi n)).
On peut distinguer 2 types de paires d'éléments de P :

a) les paires de la forme {{a,b}{c,d}} avec a,b,c,d distincts ; il y en a 3*(4 parmi n) car une telle paire est la donnée de 4 éléments a,b,c,d distincts et d'un choix parmi les 3 paires possibles {{a,b}{c,d}}, {{a,c}{b,d}}, {{a,d}{b,c}}

b) les paires de la forme {{a,b}{a,c}} avec b et c distincts ; il y en a 3*(3 parmi n) car il faut choisir 3 éléments a,b,c distincts de {1,...,n} puis choisir lequel sera l'élément commun aux deux paires (3 possibilités : a, b ou c).

Donc : (2 parmi (2 parmi n)) = 3*(4 parmi n) + 3 *(3 parmi n) = 3*( (4 parmi n) + (3 parmi n) ) = 3*(4 parmi (n+1) ) (c'est là que je vois apparaître le (n+1), dommage que ce n'est pas "directement" combinatoire).

Merci pour la réexplication ! J'ai compris du deuxième coup ! Et désolé pour mes messages hors sujets.

[Gildo]

Bonjour tout le monde. Adrien69, si je comprend bien, de:
- On écrit......tous distincts donne: C_{C_{n}²}²=C_{k};) , avec k;)4
- Comme il y a..........et c'est bon: C_{k};)= C_{n};) + C_{n}³+ C_{n}³ + C_{n}²
Si cette compréhension que j'ai de votre réponse coincide avec votre intension ma difficulté est de montrer que:
C_{n};) + C_{n}³+ C_{n}³ + C_{n}² = 3C_{n+1};).
Avec n = 4, c'est vrai. Mais je n'arrive pas à généraliser.
Cependant je comprend la partie finale du raisonnement de Lapras utilisant le triangle de Pascale. Mais les deux raisonnements ne me semblent pas être équivalents. La différence selon moi se trouve au niveau des explications a) et b). Merci pour vos contributions.

[adrien69]

Bonjour tout le monde. Adrien69, si je comprend bien, de:
- On écrit......tous distincts donne: C_{C_{n}²}²=C_{k};) , avec k;)4
- Comme il y a..........et c'est bon: C_{k};)= C_{n};) + C_{n}³+ C_{n}³ + C_{n}²
Si cette compréhension que j'ai de votre réponse coincide avec votre intension ma difficulté est de montrer que:
C_{n};) + C_{n}³+ C_{n}³ + C_{n}² = 3C_{n+1};).
Avec n = 4, c'est vrai. Mais je n'arrive pas à généraliser.
Cependant je comprend la partie finale du raisonnement de Lapras utilisant le triangle de Pascale. Mais les deux raisonnements ne me semblent pas être équivalents. La différence selon moi se trouve au niveau des explications a) et b). Merci pour vos contributions.

À la fin pour moi il faut aussi utiliser le triangle de Pascal, je ne l'ai juste pas évoqué parce que j'étais sur mac et que c'était pas super pratique vu que je n'ai pas l'habitude du clavier.

[Gildo]

Ok, merci Adrien69. Et que penses-tu du raisonnement de Lapras?

[adrien69]

Ok, merci Adrien69. Et que penses-tu du raisonnement de Lapras?

C'est plus ou moins pareil que moi mais en plus clair et plus détaillé.

[Gildo]

C'est plus ou moins pareil que moi mais en plus clair et plus détaillé.

D'accord. Je suis satisfait.

[Doraki]

Si t'aimes pas utiliser le binome de Newton tu peux t'arranger pour définir une bijection tarabiscotée entre (les parties à 4 éléments de {0 ; 1 .... n})*{1;2;3} et les paires de paires de {1 ... n}.
A partir d'un couple (X,i), si 0 est dans X alors on appelle a le ième plus petit élément > 0 de X, et b et c les deux autres et on forme {{a;b},{a;c}}
sinon on appelle a le plus grand élément de X, b le ième plus petit de X,c et d les deux autres, et on forme {{a;b},{c;d}}