Algèbre - matrices orthogonale et anti-symétrique

[romin.tomasetti]

Bien le bonsoir à tous!

Avant toute chose, je voudrais m'excuser de ne pas pouvoir vous faire un beau post tout beau tout propre à l'aide de LaTeX, puisque je ne le maîtrise malheureusement pas.... :cry:

Je désire prouver que:

Si la matrice S est anti-symétrique (S=-St, où St est la transposée de S),

Alors A=(I-S)(I+S)^-1 , où I est la matrice identité et (I+S)^-1 est la matrice inverse de (I+S), est une matrice orthogonale (A^-1=At)

L'ennui, c'est que j'ai beau me creuser et me creuser encore, je n'arrive pas à démontrer cette relation qui m'avait parue si simple de prime abord :-(

Je tourne en rond. Je n'arrive pas à utiliser le fait que S est anti-symétrique (alors que cette information me paraît cruciale !!!). Voici ce que j'ai trouvé:

A=I+St(I+A) [ce qui ne sert pas à grand chose]

Le reste de mes "trouvailles" sont toutes aussi inutiles les unes que les autres :mur:

Pourriez-vous m'aiguiller afin que je puisse enfin arriver au bout de cet exercice?

D'avance, je vous remercie!!! :we:


Romin

[fluorhydrique]

Je désire prouver que:

Si la matrice S est anti-symétrique (S=-St, où St est la transposée de S),

Alors A=(I-S)(I+S)^-1 , où I est la matrice identité et (I+S)^-1 est la matrice inverse de (I+S), est une matrice orthogonale (A^-1=At)

salut donc tu cherche à demontrer que est orthogonale sachant que
je note transposée d'une matrice S en placant un t en indication en haut à droite

alors pour décanter ton travail cela reviens à chercher à demontrer que

est une matrice diagonale

en sachant qu'on a dit que

>>>---------------------------------------------------------------->>>


pour te demontrer mon propos (ceci dit je te laisse la fin)


avant toute chose la notion de matrice associée :

soit M une matrice carré de dimension n alors on considère sa matrice associée que l'on note

la lettre A en indication en haut à droite

cette matrice associée est donnée par le produit matriciel

QUESTION: à quoi correspond la base associée d'une base?

notons les composantes de la matrice M

notons les composantes de la matrice par conséquent

notons les composantes de la matrice

par conséquent sommation avec k de 1 à n

Reponse: il est donc clair que si M est une matrice orthogonale alors

est une matrice diagonale telle que pour lorsque

et il existe i tel que

à présent on sait que si est orthogonale sachant que

alors est une matrice diagonale

par ailleurs

On démontre que soient A et B deux matrices carrés de dimension n alors on vérifie

posons , , , les composantes respectivement des matrices A , B , C , D avec et D = A.B



donc

Enfin l'ensemble des matrices carrés de dimension n sur un corps et de déterminant non nuls muni du produit matriciel forment le groupe que l'on note la loi ; est donc associative

on verifie avec a et b des relatifs

effectivement

il reste donc plus qu'à démontrer est une matrice diagonale



de plus on verifie par conséquent on doit demontrer que
est une matrice diagonale

[mrif]

Une solution est d'exprimer les inverses de (I+S) et (I-S) sous forme de séries.
(Ces inverses s'obtiennent exactement comme dans R pour les fonctions x-->1+x et x-->1-x).
Ensuite tu calcules } et .

[romin.tomasetti]

Un tout grand merci à vous!

Voici comment j'ai procédé:

A=(I-S) (I+S)^-1 et S= -St

1) Si la matrice A est orthogonale, alors elle vérifie la relation suivante: A^-1 A=At A=I

2) Le résultat du point 1 nous incite à prouver que: A At = I

;)En remplaçant At et A par, respectivement, [(I-S)(I+s)^-1]t et par (I-S)(I+S)^-1, on obtient:

[(I-S)(I+s)^-1]t (I-S)(I+S)^-1 =I

;)Or on sait (CD)t = Dt Ct et que (Bt)^-1 = (B^-1)t , d'où:

[(I+S)t]^-1 (I-S)t (I-S)(I+S)^-1 =I (*)

;)Or on démontre trivialement que (C+D)t = Ct + Dt et donc on a (I+S)t = It + St = I - S et (I-S)t = I+S puisque S est anti-symétrique. (*) devient donc:

(I-S)^-1 (I+S) (I-S) (I+S)^-1 = I

;)Le produit matriciel est distributif:

(C+D)(C-D)=C^2-CD+DC-D^2 (**)

;) Cette relation (**) nous indique que si C et D commutent, alors (C+D)(C-D)=C^2-D^2 = (C-D)(C+D)

;) Nous savons que I S =S I (I et S commutent) donc (I+S)(I-S)=(I-S)(I+S):

(I-S)^-1 (I+S) (I-S) (I+S)^-1 = I devient:

(I-S)^-1 (I-S) (I+S) (I+S)^-1 = I

;) Or, (I-S)^-1 (I-S) = I = (I+S) (I+S)^-1

;) (I-S)^-1 (I-S) (I+S) (I+S)^-1 = I I = I et donc At A=I, ce qui prouve bien que At =A^-1



Merci encore, vous m'avez permis de trouver une solution qui m'a l'air satisfaisante :we:

[fluorhydrique]

A=(I-S) (I+S)^-1 et S= -St

1) Si la matrice A est orthogonale, alors elle vérifie la relation suivante: A^-1 A=At A=I

pardon non! At A=I ça n'est pas une obligation

tout à l'heure on a demontré que si A est une matrice orthogonale alors obligatoirement

At A est une matrice diagonale et de plus toutes ces valeurs sur sa diagonale sont non nulles

mais pas forcément toutes ni de valeur 1 (comme pour une matrice ortho-unitaire) ni toutes de valeur identiques(comme pour une matrice ortho-normée)

il en resulte -de la demo (qu'on a fait précédemment ) qu'il faut que obligatoirement A^-1 A= I ça oui! A est une matrice inversible ça par contre c'est obligé

( si elle ne le serait pas alors de deux choses l'une soit en effectuant At A la matrice qui en resulte n'est pas diagonale soit elle est diagonale mais possede des valeurs nulles sur sa diagonale)

mais sinon pourquoi ne pas developper l'expression que je t'ai laissé?

[fatal_error]

bonjour fluoryhdrique,

avant que les gens t'estiment crédible , il va falloir faire des postes crédibles.
Ils n'ont ni queue ni tete, et quand bien même ils seraient corrects, ils sont illisibles.

le simple fait de te lire arrache les yeux, il n'y a aucun fil conducteur, tout est introduit n'importe comment. Alors réutiliser tes résultats c'est se tirer une balle dans le pied.

Tu as pe des idées intéressantes, mais si tu ne fais aucun effort pour les rendre claires, elles ne servent à rien.

[fluorhydrique]

Fatal Error quand il verra que sa deduction A^t.A = I peut tres bien être fausse

il reviendra me lire c'est aussi tout l'interêt de mon aide : faire reflechir mais en profondeur et pour des decennies et pas seulement superficiellement pour le jour d'un exam

certes je comprend que tu est pressé et que tout le monde reussise son examen etc... mais c'est pas ça l'amour des maths!

non tu trouve pas Fatal Error?

[Ben314]

pardon non! At A=I ça n'est pas une obligation

Quand on parle d'un concept mathématique, c'est pas con de commencer par en cherche la définition...

[Ben314]

Quelques remarques :

1) Si la matrice A est orthogonale, alors elle vérifie la relation suivante: A^-1 A=At A=I <= VRAI, mais ici, vu que le fait que "A est orthogonale" est le résultat que tu veut obtenir, ce n'est pas cette implication qui t'es utile, mais la réciproque (et, a ta place, dans un cas pareil où on évoque la quasi-définition du truc en question, j'aurais écrit "A est orthogonale ssi At=A^-1)

2) Le résultat du point 1 nous incite à prouver que: A At = I
...
(I-S)^-1 (I+S) (I-S) (I+S)^-1 = I <= Arrivé à ce stade, c'est fini vu que les matrices (I+S) et (I-S) commutent du fait que IS=SI

[fluorhydrique]

non ! FAUX!
une base M peut très bien être orthogonale sans que pour autant M^t.M=I

vous voulez un exemple???

[romin.tomasetti]

non ! FAUX!
une base M peut très bien être orthogonale sans que pour autant M^t.M=I

vous voulez un exemple???

Alors, oui, je veux bien un exemple!! :we:

Vous dites qu'une base orthogonale ne vérifie pas forcément Mt M =I . Or, si je ne me trompe pas, le fait que Mt =M^-1 est une condition suffisante pour que M soit orthogonale. Et c'est bien ce que je démontre puisque je prouve que At A =I .

Pour moi, d'après mes connaissances théoriques, une matrice est orthogonale si:

Une matrice O Mn(R) est dite orthogonale si Ot = O^;)1. On note On(R) l’ensemble des matrices orthogonales de Mn(R).

Les colonnes (c1,..., cn) d’une matrice orthogonale forment une base orthonormée de Rn.

Une matrice A est orthogonale si et seulement si : A est à coefficients réels, est inversible [cela, on le suppose dans mon exercice] et son inverse est égale à sa transposée : A;)1 = tA [Wikipédia]

Et comme l'a rajouté Ben 314, je pense que votre définition d'une matrice orthogonale, avec tout le respect que vous doit, est erronée...

[fluorhydrique]

par exemple matrice à composantes sur les rationnels

est une base orthogonale mais non orthonormée ni encore moins ortho-unitaires
ni encore ortho-unitaire de determinant positif (une rotation de la base canonique)

on obtiens

en fait il faut comprendre comment à partir d'une base quelconque tu peut l'orthogonaliser

à partir de là toutes celles que tu aura ne seront pas forcément orthonormées ni ortho-unitaires
ni encore ortho-unitaire de determinant positif (une rotation de la base canonique)

[fatal_error]

est une base orthogonale

non. A est une matrice :marteau: :marteau:

[fluorhydrique]

Fatal Error oui une matrice et alors?

ceci dit tu voit bien qu'elle est orthogonale non?

et ne verifie pas A^t.A=I comme tu le prétendait quand tu t'est réveillé ce matin

[romin.tomasetti]

non. A est une matrice :marteau: :marteau:

Je pense en effet que vous confondez matrices et bases, choses qui sont très semblables mais qui ont des propriétés différentes !

[fatal_error]

ceci dit tu voit bien qu'elle est orthogonale non?

non. :marteau:

tu noteras au passage que

comme tu le prétendait quand tu t'est réveillé ce matin

ce matin j'ai rien prétendu du tout, j'ai donné aucune valeur de vérité à tes propos si ce n'est qu'ils étaient illisibles.

j'arrête de participer à cette discussion l'auteur a eu ses réponses, et je préfère voir comment évolue le troll :hum: (on a déjà trouvé des plus créatifs/récréatifs, ici, c'est du classique :/)

[fluorhydrique]

Va te faire enculer

[fluorhydrique]

va te faire enculer deux fois!

[fluorhydrique]

je vais t'apprendre la politesse Fatal *******!


va te faire enculer trois fois!

[fluorhydrique]

...et une quatrième fois

va te faire encore enculer!