Matrices et algèbre

[ali babouche]

bonjour tout le monde, je débute en algèbre bilinéaire donc certaines choses (peut être évidentes) ne me sautent pas aux yeux
Soit A matrice (n lignes, p colonnes) avec rg A = p et U1,... Up ses colonnes
1) Soit S1,...,Sp la famille orthonormale obtenue par gram schmidt à partir de (U1,...,Up). Montrer que Q dont les colonnes sont S1,...,Sp vérifie t(Q)Q = Ip. Q est-elle toujours inversible et quel est son iverse ?
2) Montrer que Q t(Q) est le projecteur orthogonal sur Im A et en déduire que Qt(Q)A = A. (t désigne la transposée)
Je cherche des méthodes, des aides pour bien commencer. Merci par avance!

[Doraki]

Ca veut dire quelquechose qu'une matrice rectangulaire est inversible ?

[ali babouche]

j'ai dit que A appartenait à M(n,p) mais Q a juste comme colonnes S1, .. Sp. Donc Q n'est pas nécessairement inversible car nbre colonnes n'est pas égal à nbre lignes. Mais je ne vois pas comment le montrer d'après l'écriture de Q...

[girdav]

Écris le produit à l'aide du symbole somme et en te servant de ce que tu sais sur les coefficients.
La matrice est inversible à gauche.

[Ben314]

Salut,
Un constatation "super ConCon" (mais qu'il faut avoir fait au moins une fois), c'est que, quand tu fait le produit de deux matrices A et B (pas forcément carrées), cela correspond (par définition) à faire le produit scalaire des vecteurs LIGNES de A par les vecteurs COLONNES de B...
(évidement en prenant comme produit scalaire le produit scalaire "canonique" de R^d où d=largeur de A=hauteur de B)

[ali babouche]

girdav : à l'aide du symbole somme ? Explicites un peu car je ne vois pas

[girdav]

Si par exemple on note le coefficient de la ligne et de la colonne de la matrice et le coefficient de la ligne et de la colonne de la matrice on a que le coefficient de la ligne et de la colonne de la matrice est .
Mais dans ton cas, il y a beaucoup de termes qui ne comptent pas.

[ali babouche]

ma question est surement bete, mais je vois pas quels coefficients vont virer..

[ali babouche]

si ça y est je vois... les produits scalaires sont nuls sauf pour i=j...
Donc Q inversible à gauche et c'est tout..

[ali babouche]

une méthode/aide pour montrer que Qtq est le projecteur orthogonal sur Im A (ça veut dire quoi d'ailleurs, je comprends pas trop...?)

[ali babouche]

je comprends toujours pas "projecteur orthogonal sur Im A"

[Ben314]

im(A) est un sous espace vectoriel.
L'espace d'arrivé est somme directe de im(A) et de l'orthogonal de im(A).
Cela signifie que tout vecteur u de l'espace d'arrivé s'écrit de façon unique u=u1+u2 avec u1 dans im(A) et u2 dans l'orthogonal de im(A).
Le "projecteur orthogonal sur Im A" c'est l'application qui, à un tel u, associe u1.

Il faut donc que tu montre que QtQ(u)=u1, ce qui revient à montrer que QtQ(u1)=u1 et que QtQ(u2)=0 lorsque u1 est dans im(A) et u2 dans l'orthogonal de im(A).

[ali babouche]

même avec tes explications (en fait c'est presque pareil que pour l'algèbre linéaire), j'aurai du mal à trouver u1 et u2 répondant à la question.

[ali babouche]

moué je vois toujours pas!

[Ben314]

On ne te demande absolument pas de trouver u1 et u2 !!!!!!
Il faut que tu montre que, pour tout u1 dans im(A) on a QtQ(u1)=u1 et que, pour tout u2 dans l'orthogonal de im(A), on a QtQ(u2)=u2...

[ali babouche]

ben essayons
soit u1 appartenant à Im A, il existe t tel que A(t) = u1 et je suis déjà bloqué :cry:

[ali babouche]

je désespère face à l'algèbre

[ali babouche]

toujours pas ?

[ali babouche]

je relance le topic car je n'ai toujours pas de réponse : comment arriver à montrer que Q tQ est le projecteur orthogonal sur Im A? Merci d'avance!

[Finrod]

je relance le topic car je n'ai toujours pas de réponse : comment arriver à montrer que Q tQ est le projecteur orthogonal sur Im A? Merci d'avance!

Tu montres que l'application linéaire associé est l'identité sur Im(A) et zéro sur l'orthogonal.

edit : Quand on veut décrire u1 et u2, on écrit en général u1=QtQ(u) et u2=u-QtQ(u). On se sert de cela par exemple lorsque l'on sait déjà que QtQ est u nprojecteur et que l'on veut montrer que son image et son noyau sont en somme directe.