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Vieux 30/04/2005, 18h34
Pilou
Invité
 
Messages: n/a
Par défaut 1er S vecteurs

1/ démonstration de la réciproque du théorème de thalès vectoriel. Soit ABC
un triangle non aplati. Soient les points E ? ( AB) et F ? ( AC) tels qu'il
existe un réel k vérifiant Vecteur AE= k VAB et VAF = k VAC. Démontrez que
les droites (EF) et (BC) sont parallèles.

2/ Démonstration du théorème de Thalès vectoriel dans un cas particulier.
Soit ABC un triangle non aplati. Soit E le point vérifiant VAE = 1/4 VAB, et
soit F le point de (AC) tel que (EF) // (BC). L'objectif est de démontrer
que VAF = 1/4 VAC et VEF = 1/4 VBC. Pour cela on va raisonner par l'absurde.
a/ Justifier qu'il existe deux réels k et k' tels que VAF = k' VAC et VEF =
k VBC.

b/ En utilisant le fait que VAE + VEF + VFA = V0 démontrer que , si k est
différent de 1/4 alors le spoints A , B , C sont alignés.

c/ Conclure.







J'ai fait la figure sans problème. pour le 1/ afin de démontrer que les
droites sont paralleles on démontre que les droites ont des vecteurs
directeurs colinéaires. E faisant partie du segment AB alors les points, A,
E et B sont alignés. Donc les vecteurs VAE et VAB sont colinéaires. Le point
F faisant partie de la droite AC alors les points A F et C sont alignés. Les
vecteurs VAF et VAC sont donc colinéaires.

On a VEF = VEA + VAF = - k VAB + k VAC = k (-VAB +VAC)= k ( VBA+VAC)= k (
BC) . En conséquence VEF = k VBC. Les vecteurs VEF et VBC sont colinéaires
et non nuls ( ils ont le même sens) donc les droites ( EF) et ( BC) sont
paralleles.

2/a/Comme E est sur le vecteur VAB. VAE est bien proportionnel à VAB donc
VAE = k VAB. ( je ne suis pas sur du tout de la démonstration car je ne vois
pas comment on justifie).

b/ je n'ai pas compris comment on demontrait. Si vous pouviez me donner
quelques eclaircissements.

c/ je pense que ce doit etre la difference entre un triangle non aplati et
un triangle aplati. ( mais je n'en suis pas sur)







 
Vieux 30/04/2005, 18h34
bc92
Invité
 
Messages: n/a
Par défaut Re: 1er S vecteurs

Bonjour,

Dans le message news:41408b35$0$14888$636a15ce@news.free.fr,
Pilou a écrit:
> 1/ démonstration de la réciproque du théorème de thalès vectoriel.
> Soit ABC un triangle non aplati. Soient les points E ? ( AB) et F ? (
> AC) tels qu'il existe un réel k vérifiant Vecteur AE= k VAB et VAF =
> k VAC. Démontrez que les droites (EF) et (BC) sont parallèles.
>
> 2/ Démonstration du théorème de Thalès vectoriel dans un cas
> particulier. Soit ABC un triangle non aplati. Soit E le point
> vérifiant VAE = 1/4 VAB, et soit F le point de (AC) tel que (EF) //
> (BC). L'objectif est de démontrer que VAF = 1/4 VAC et VEF = 1/4 VBC.
> Pour cela on va raisonner par l'absurde. a/ Justifier qu'il existe
> deux réels k et k' tels que VAF = k' VAC et VEF = k VBC.
>
> b/ En utilisant le fait que VAE + VEF + VFA = V0 démontrer que , si k
> est différent de 1/4 alors le spoints A , B , C sont alignés.
>
> c/ Conclure.
>
>
> J'ai fait la figure sans problème. pour le 1/ afin de démontrer que
> les droites sont paralleles on démontre que les droites ont des
> vecteurs directeurs colinéaires. E faisant partie du segment AB alors
> les points, A, E et B sont alignés. Donc les vecteurs VAE et VAB sont
> colinéaires. Le point F faisant partie de la droite AC alors les
> points A F et C sont alignés. Les vecteurs VAF et VAC sont donc
> colinéaires.
>
> On a VEF = VEA + VAF = - k VAB + k VAC = k (-VAB +VAC)= k ( VBA+VAC)=
> k ( BC) . En conséquence VEF = k VBC. Les vecteurs VEF et VBC sont
> colinéaires et non nuls ( ils ont le même sens) donc les droites (
> EF) et ( BC) sont paralleles.
>
> 2/a/Comme E est sur le vecteur VAB. VAE est bien proportionnel à VAB
> donc VAE = k VAB. ( je ne suis pas sur du tout de la démonstration
> car je ne vois pas comment on justifie).


Je dirais plutôt:
E, A et B sont alignés et distincts. Donc les vecteurs AE et AB sont
colinéaires et il existe k tel que VAE=k VAB.

> b/ je n'ai pas compris comment on demontrait. Si vous pouviez me
> donner quelques eclaircissements.


Si tu permets je ne met pas les V, on sait qu'il s'agit de vecteurs.
Tu pars de AE + EF + FA = 0 (0 est le Vecteur 0 bien sûr)
Donc (1/4) AB + k BC -k' AC = 0
Tu réécris, en utilisant BC=AB-AC :
(1/4) AB + k (AC-AB)- k' AC = 0
(1/4 - k) AB + (k-k') AC = 0

Si k est différent de 1/4 on en déduit:
AB = [-(k-k')/(1/4-k)] AC
et les points A,B et C sont alors alignés.

>
> c/ je pense que ce doit etre la difference entre un triangle non
> aplati et un triangle aplati. ( mais je n'en suis pas sur)


On a trouvé en 2) que k différent de 1/4 implique A,B, C alignés, donc
le triangle ABC applati, ce qui est contraire à l'énoncé. On en déduit
(par l'absurde) que k=1/4.
En revenant à l'avant dernière égalité de 2) on en déduit enfin k=k'
puisque (k-k') AC = 0.

Donc finalement k=k'=1/4

P.S. Tu aurais sans doute plus de réponses ou plus vite en te fendant
d'un bonjour. ;-)
--
Cordialement,
Bruno

 
Vieux 30/04/2005, 18h34
Pilou
Invité
 
Messages: n/a
Par défaut Re: 1er S vecteurs


"bc92" <bc92NOSPAM@free.fr.invalid> a écrit dans le message de news:
a940d.3984$LV3.6550@nntpserver.swip.net...
> Bonjour,
>
> Dans le message news:41408b35$0$14888$636a15ce@news.free.fr,
> Pilou a écrit:
>> 1/ démonstration de la réciproque du théorème de thalès vectoriel.
>> Soit ABC un triangle non aplati. Soient les points E ? ( AB) et F ? (
>> AC) tels qu'il existe un réel k vérifiant Vecteur AE= k VAB et VAF =
>> k VAC. Démontrez que les droites (EF) et (BC) sont parallèles.
>>
>> 2/ Démonstration du théorème de Thalès vectoriel dans un cas
>> particulier. Soit ABC un triangle non aplati. Soit E le point
>> vérifiant VAE = 1/4 VAB, et soit F le point de (AC) tel que (EF) //
>> (BC). L'objectif est de démontrer que VAF = 1/4 VAC et VEF = 1/4 VBC.
>> Pour cela on va raisonner par l'absurde. a/ Justifier qu'il existe
>> deux réels k et k' tels que VAF = k' VAC et VEF = k VBC.
>>
>> b/ En utilisant le fait que VAE + VEF + VFA = V0 démontrer que , si k
>> est différent de 1/4 alors le spoints A , B , C sont alignés.
>>
>> c/ Conclure.
>>
>>
>> J'ai fait la figure sans problème. pour le 1/ afin de démontrer que
>> les droites sont paralleles on démontre que les droites ont des
>> vecteurs directeurs colinéaires. E faisant partie du segment AB alors
>> les points, A, E et B sont alignés. Donc les vecteurs VAE et VAB sont
>> colinéaires. Le point F faisant partie de la droite AC alors les
>> points A F et C sont alignés. Les vecteurs VAF et VAC sont donc
>> colinéaires.
>>
>> On a VEF = VEA + VAF = - k VAB + k VAC = k (-VAB +VAC)= k ( VBA+VAC)=
>> k ( BC) . En conséquence VEF = k VBC. Les vecteurs VEF et VBC sont
>> colinéaires et non nuls ( ils ont le même sens) donc les droites (
>> EF) et ( BC) sont paralleles.
>>
>> 2/a/Comme E est sur le vecteur VAB. VAE est bien proportionnel à VAB
>> donc VAE = k VAB. ( je ne suis pas sur du tout de la démonstration
>> car je ne vois pas comment on justifie).

>
> Je dirais plutôt:
> E, A et B sont alignés et distincts. Donc les vecteurs AE et AB sont
> colinéaires et il existe k tel que VAE=k VAB.
>
>> b/ je n'ai pas compris comment on demontrait. Si vous pouviez me
>> donner quelques eclaircissements.

>
> Si tu permets je ne met pas les V, on sait qu'il s'agit de vecteurs.
> Tu pars de AE + EF + FA = 0 (0 est le Vecteur 0 bien sûr)
> Donc (1/4) AB + k BC -k' AC = 0
> Tu réécris, en utilisant BC=AB-AC :
> (1/4) AB + k (AC-AB)- k' AC = 0
> (1/4 - k) AB + (k-k') AC = 0
>
> Si k est différent de 1/4 on en déduit:
> AB = [-(k-k')/(1/4-k)] AC
> et les points A,B et C sont alors alignés.
>
>>
>> c/ je pense que ce doit etre la difference entre un triangle non
>> aplati et un triangle aplati. ( mais je n'en suis pas sur)

>
> On a trouvé en 2) que k différent de 1/4 implique A,B, C alignés, donc
> le triangle ABC applati, ce qui est contraire à l'énoncé. On en déduit
> (par l'absurde) que k=1/4.
> En revenant à l'avant dernière égalité de 2) on en déduit enfin k=k'
> puisque (k-k') AC = 0.
>
> Donc finalement k=k'=1/4
>
> P.S. Tu aurais sans doute plus de réponses ou plus vite en te fendant
> d'un bonjour. ;-)
> --
> Cordialement,
> Bruno
>



Merci beaucoup de ton aide



 
 

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