Calcul vectoriel : Produit scalaire (Dans l'espace : Angle d

[yoyomi]

SUJET DU DEVOIR

Dans un tétraèdre régulier de côté m, calcule l'angle que forme une arête avec une des faces qui ne la contient pas.

OÙ J'EN SUIS DANS MON DEVOIR

Bonjour,

J'ai tracé un tétraèdre régulier ADCB de côté m. J'ai choisi la droite BA et le plan "pi" ADC.

Je me suis demandé si la droite AB était orthogonale au plan "pi".

Si oui --> angle droit (90°)

Si non --> angle aigu (<90°)

A partir de là, je n'ai aucune idée de comment procéder... Merci !

[lalbatros]

SUJET DU DEVOIR

Dans un tétraèdre régulier de côté m, calcule l'angle que forme une arête avec une des faces qui ne la contient pas.

OÙ J'EN SUIS DANS MON DEVOIR

Bonjour,

J'ai tracé un tétraèdre régulier ADCB de côté m. J'ai choisi la droite BA et le plan "pi" ADC.

Je me suis demandé si la droite AB était orthogonale au plan "pi".

Si oui --> angle droit (90°)

Si non --> angle aigu (<90°)

A partir de là, je n'ai aucune idée de comment procéder... Merci !

A mon avis, le vecteur V = BA+BC+BD est perpendiculaire au plan ACD.
Mais il faut le prouver, sans doute.
Cela doit être possible avec des arguments de symétrie du tétraèdre régulier.

Ensuite, il suffit de calculer l'angle entre BA et V, par la formule du produit scalaire.

[yoyomi]

A mon avis, le vecteur V = BA+BC+BD est perpendiculaire au plan ACD.
Mais il faut le prouver, sans doute.
Cela doit être possible avec des arguments de symétrie du tétraèdre régulier.

Ensuite, il suffit de calculer l'angle entre BA et V, par la formule du produit scalaire.

Je ne comprends pas comme utiliser la formule de l'angle entre deux droites si on a seulement comme indication que le côté = m. De plus, je n'ai aucune base en symétrie du tétraèdre.. Merci !

[vingtdieux]

Si A est le sommet prend aussi E milieu de CD. Par symetrie AB et AE sont dans un meme plan. Choisir son repere Oxyz tel que Oz = OA et Ox = suivant EB. Alors les coordonnées des points A, B et E sont faciles a calculer. Ne pas oublier que BCD est equilateral. Ensuite AB= m at AE= hauteur d'un triangle equilateral. On fait le produit scalaire de AB et AE. On peut faire aussi par pure geometrie:
-dans un plan xOz mettre A tracer le cercle de rayon m pour avoir B (intersection X'X) et celui de rayon AE pour avoir E. Mesurer l'angle BAE.

[chan79]

Salut
Tu peux montrer que le projeté orthogonal de B sur le plan (ACD) est le centre de gravité G de ACD.
Dans ABG, tu as le cosinus de l'angle cherché.