Calcul vectoriel : Produit scalaire (Applications géométriqu

[yoyomi]

SUJET DU DEVOIR

Euler a démontré que si A, B, C et D sont quatre points du plan ou de l'espace, alors on a l'égalité qui s'exprime vectoriellement de la manière suivante :

AB . DA + BD . AC + AB . DC = 0 (ce sont des vecteurs et le "." représente le produit scalaire)



a) Démontre cette égalité dans l'espace

- en exprimant AB, BC et AC comme différences de vecteurs ayant D comme origine;

- en effectuant lesproduits scalaires obtenus et en citant la propriété utilisée;

- en démontrant au passage l'égalité vectorielle AB . BC = -(AB . CB) ("." représente le produit scalaire)


OÙ J'EN SUIS DANS MON DEVOIR

Bonjour,

J'ai renoté l'égalité d'Euler mais je n'ai absolument aucune idée de comment commencer la démonstration même avec les indications..

Merci

[chombier]

SUJET DU DEVOIR

Euler a démontré que si A, B, C et D sont quatre points du plan ou de l'espace, alors on a l'égalité qui s'exprime vectoriellement de la manière suivante :

AB . DA + BD . AC + AB . DC = 0 (ce sont des vecteurs et le "." représente le produit scalaire)



a) Démontre cette égalité dans l'espace

- en exprimant AB, BC et AC comme différences de vecteurs ayant D comme origine;

- en effectuant lesproduits scalaires obtenus et en citant la propriété utilisée;

- en démontrant au passage l'égalité vectorielle AB . BC = -(AB . CB) ("." représente le produit scalaire)


OÙ J'EN SUIS DANS MON DEVOIR

Bonjour,

J'ai renoté l'égalité d'Euler mais je n'ai absolument aucune idée de comment commencer la démonstration même avec les indications..

Merci

Tu peux commencer par là :

[yoyomi]

Tu peux commencer par là :

Merci beaucoup j'ai compris

Donc :

La première étape est donc finie. Maintenant je dois effectuer les produits scalaires obtenus en citant la propriété utilisée. Mais dans ce qu'on vient d'obtenir je ne vois pas comment faire ; il n'y a pas de produit scalaire... Comment faire ?

Merci

[yoyomi]

Merci beaucoup j'ai compris

Donc :

La première étape est donc finie. Maintenant je dois effectuer les produits scalaires obtenus en citant la propriété utilisée. Mais dans ce qu'on vient d'obtenir je ne vois pas comment faire ; il n'y a pas de produit scalaire... Comment faire ?

Merci

Désolé du double post mais j'ai réussi à tout trouver

Je bloque cependant au point b. Pouvez-vous m'aider ?

b) L'égalité d'Euler est riche de conséquences. En effet, utilises-la pour démontrer l'énoncé suivant :
Si A, B, C et D sont quatre points du plan, non alignés trois à trois, alors les trois hauteurs du triangle ABC concourent au point D.

J'ai déjà écrit ceci :
Hypothèse : A, B, C et D : quatre points du plan non alignés trois à trois
Thèse : ABC (hauteurs) concourent au point D
Démonstration : Là, je bloque car je ne comprends pas l'énoncé (que veut dire "trois à trois" et "concourir" ?)

Merci !

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Désolé du double post mais j'ai réussi à tout trouver

J'aimerais bien savoir comment tu as fait car je ne suis pas convaincu du tout par ton égalité




Tu es sure qu'elle est juste quelle que soit la position des points A, B, C et D, qu'il n'y a pas une autre condition ?

Tu es sur de l'avoir bien recopiée ?

[yoyomi]

J'aimerais bien savoir comment tu as fait car je ne suis pas convaincu du tout par ton égalité




Tu es sure qu'elle est juste quelle que soit la position des points A, B, C et D, qu'il n'y a pas une autre condition ?

Tu es sur de l'avoir bien recopiée ?

Oui effectivement je me suis trompé ^^

En effet, la formule des produits scalaires d’Euler est BC.DA+BD.AC+AB.DC=0

[siger]

bonjour,

"non alignes trois a trois" : il n'y. jamais troispoints alignes quelque soient les points choisis
" concourir" : se coupent
concourir en D signifie qu'elles passent toutes les trois par D

[yoyomi]

bonjour,

"non alignes trois a trois" : il n'y. jamais troispoints alignes quelque soient les points choisis
" concourir" : se coupent
concourir en D signifie qu'elles passent toutes les trois par D

Merci mais comment faire pour démontrer ?

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Merci mais comment faire pour démontrer ?

T'as encore du te tromper en recopiant :

"Si A, B, C et D sont quatre points du plan, non alignés trois à trois, alors les trois hauteurs du triangle ABC concourent au point D"

C'est faux. Les trois hauteurs concourent en un point qui n'a aucune raison d'être le point D...

[yoyomi]

T'as encore du te tromper en recopiant :

"Si A, B, C et D sont quatre points du plan, non alignés trois à trois, alors les trois hauteurs du triangle ABC concourent au point D"

C'est faux. Les trois hauteurs concourent en un point qui n'a aucune raison d'être le point D...

Non je ne me suis plus trompé... C'est ce qu'il est mis dans le livre :/

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Non je ne me suis plus trompé... C'est ce qu'il est mis dans le livre :/

Scan or it did not happen :hum:

[yoyomi]

Scan or it did not happen :hum:

J'ai scanné la page mais je sais pas comment l'insérer

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J'ai scanné la page mais je sais pas comment l'insérer

C'était une blague hein, si l’énoncé est faux peu importe, tu ne peux pas continuer.

Pour insérer une image : l'héberger sur un serveur, par exemple https://imageshack.com/, et insérer le lien ici

[yoyomi]

C'était une blague hein, si l’énoncé est faux peu importe, tu ne peux pas continuer.

Pour insérer une image : l'héberger sur un serveur, par exemple https://imageshack.com/, et insérer le lien ici

Le prof a fait tous les exercices avant nous et a dit que tout était possible...
http://imagizer.imageshack.us/v2/800x600q90/36/2wsq.jpg

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Le prof a fait tous les exercices avant nous et a dit que tout était possible...
http://imagizer.imageshack.us/v2/800x600q90/36/2wsq.jpg

Il faudrait un autre avis (que le mien), je suis peut-être dans l'erreur, mais je confirme que je ne crois pas que cette phrase soit vraie...

Il suffit de dessiner un triangle ABC, puis ses trois hauteurs qui se coupent en H, et de prendre un point D qui n'est ni sur (AC), ni sur (BC), ni sur (AB) pour s'en convaincre

[yoyomi]

Il faudrait un autre avis (que le mien), je suis peut-être dans l'erreur, mais je confirme que je ne crois pas que cette phrase soit vraie...

Il suffit de dessiner un triangle ABC, puis ses trois hauteurs qui se coupent en H, et de prendre un point D qui n'est ni sur (AC), ni sur (BC), ni sur (AB) pour s'en convaincre

Merci quand même

[siger]

bonjour,

Il faudrait un autre avis (que le mien), je suis peut-être dans l'erreur, mais je confirme que je ne crois pas que cette phrase soit vraie...

Il suffit de dessiner un triangle ABC, puis ses trois hauteurs qui se coupent en H, et de prendre un point D qui n'est ni sur (AC), ni sur (BC), ni sur (AB) pour s'en convaincre

sauf que les points ne sont pas quelconques, puisqu'ils sont relies par l'equation d'euler
BC.DA + BD.AC + AB.DC = 0
equation qui est verifiée si D est l'hortocentre car les trois produits scalaires sont nuls puisque AD, BD et CD sont alors des hauteurs
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