Notion de modèle mathématique

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
gast
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Notion de modèle mathématique

par gast » 27 Aoû 2013, 05:59

Bonjour,
Je ne suis pas féru de logique mathématiques. J'ai du mal à comprendre la notion de modèle, ou plutôt la façon dont on construit le modèle mathématique d'une théorie ou d'un système formel.
Existe t il une technique particulière ou puis-je avoir un exemple suffisamment explicite ?

Merci d'avance



godzylla

par godzylla » 27 Aoû 2013, 11:05


gast
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par gast » 27 Aoû 2013, 13:40

godzylla a écrit:salut

http://intothecontinuum.tumblr.com/

Bonjour,

Peut être est-ce parce que je ne comprend pas toutes les nuances de l'anglais, mais je ne trouve pas la réponse à ma question sur ce site.

Cordialement

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 27 Aoû 2013, 14:19

Bonjour,
A mon avis, il y a deux approches complètement différentes, qui ne s'excluent pas, ne sont pas contradictoires, mais dépendent de la chose étudiée.

Je vais d'abord tenter une définition :
On a un phénomène, généralement naturel. On peut l'observer et on aimerait bien trouver une équation ou un ensemble d'équations dont les paramètres sont soit des constantes, soit des quantités mesurables qui permettent de prévoir le résultat.
Prenons l'exemple d'un arbre. Il est intéressant de savoir le temps qu'il lui faudra pour se développer, et arriver à maturité. On peut imaginer 3 paramètres : l'essence de l'arbre, la région et la qualité du sol.

Première approche possible, elle est basée sur l'expérience. La "formule" adoptée sera utilisée jusqu'à ce quelqu'un d'autre en trouve une meilleure. Il peut aussi arriver qu'on continue à utiliser plusieurs formules différentes pour le même phénomène.

Seconde approche possible, il s'agit d'une méthode analytique. Prenons l'exemple classique de la houle. Chacun sait que le modèle mathématique est une sinusoïde. Tant que personne n'aura trouvé une autre formule, tout le monde admet le principe. Dans ce schéma on observe qualitativement un phénomène (ça monte et ça descend) ça ressemble fort à une sinusoïde, on sait par ailleurs que la somme de sinusoïdes forme une sinusoïde.
On peut pousser un peu plus loin l'analyse : que se passe-t-il lorsque la houle arrive à proximité des côtes et que la profondeur diminue ? Là on part d'un principe théorique : la conservation de l'énergie. Puis on fait une analyse détaillé mais théoriques des forces auxquelles sont soumises les particules d'eau, et on en déduit, toujours sur le plan théorique, une très jolie formule. Généralement ces formules comportent des constantes, on effectue des mesures pour déterminer ces constantes, et on obtient le modèle mathématique du phénomène.

adrien69
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par adrien69 » 27 Aoû 2013, 14:32

Dlzlogic a écrit:on sait par ailleurs que la somme de sinusoïdes forme une sinusoïde.

Tu y vas fort là quand même, en première approximation peut-être, mais alors vraiment en première approximation... Sinon c'est toute la théorie des séries de Fourier que tu mets à mal.

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 27 Aoû 2013, 14:46

adrien69 a écrit:Tu y vas fort là quand même, en première approximation peut-être, mais alors vraiment en première approximation... Sinon c'est toute la théorie des séries de Fourier que tu mets à mal.

Oui, en première approximation. Tu sais bien que les maths théoriques ne sont pas ma spécialité. Il est vrai que je me contente là de répéter ce que j'ai lu à propos de la houle. Cet exemple ma parait intéressant, dans la mesure où ce modèle n'a pas subi de changement depuis fort longtemps.
Bien volontiers si tu veux corriger ou rectifier mon explication.

Doraki
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par Doraki » 27 Aoû 2013, 15:02

si tu as un langage L et une théorie T sur L, un modèle de T est un ensemble M muni d'une interprétation des symboles de relations et des symboles de fonctions de L comme des relations dans M et des fonctions dans M, de telle sorte que après traduction dans M, les axiomes de T sont vrais.

par exemple si L contient les symboles de fonctions "e","i","+" d'arités 0,1,2 ; et que T = "pour tout x, e+x = x, x+e = x, e = x+i(x), e = i(x)+x" et "pour tout x y z, x+(y+z) = (x+y)+z, x+y = y+x". Eh bien les modèles de T ce sont les groupes commutatifs.

Sylviel
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par Sylviel » 27 Aoû 2013, 15:13

Bonjour,

j'aime bien rappeler la démarche classique d'à peu près toute les sciences (je ne parle donc pas de logique pure) :

1) on observe un phénomène
2) "au pif" on modélise le phénomène en question, pour en construire un modèle mathématique dans lequel on peut faire plein de calcul et de prédictions
3) on confronte la modélisation à l'expérience pour déterminer le domaine de validité de la modélisation (sous quelle conditions, pour quelle précision, le modèle est-il valable).

Le "au pif" est la phase de modélisation. Généralement, en Physique par exemple, la phase de modélisation consiste à choisir des hypothèses classiques (pas de frottement, référentiel galiléen etc) justifiées par la connaissance du problème.

Il n'y a pas de méthodes générale permettant de choisir un modèle mathématique, mais plutôt des règles plus ou moins précises, dépendant de chaque science, pour savoir quels hypothèses de modélisation sont valable ou non.

P.S : une somme de sinusoide n'est pas une sinusoide mais un produit de sinosuoides...
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 27 Aoû 2013, 15:40

Bonjour Sylviel,
Cette méthode est la seconde que j'ai décrite. La première, basée sur des observations dimensionnelles expérimentale existe aussi.
Un exemple : le calcul de pluviométrie, modèle de Caquot.
Je crois qu'une description de ce modèle serait un peu hors-sujet, mais si ça intéresse quelqu'un, je peux donner les grandes lignes.
Par contre, pour les formules relatives aux tuyaux, caniveaux et canaux, j'avoue que je ne connais pas la méthode utilisée. Mais je ne me suis jamais posé la question.

gast
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par gast » 27 Aoû 2013, 18:24

Merci Dlzlogic, merci Sylviel, merci Doraki

Vous m'avez fourni des exemples intéressants. J'aime bien le "Pif" de Sylviel, c'est une façon d'(ré?-)introduire le rôle de l'intuition dans la démarche rationnelle.
Cela étant dit, je perçois une (petite ?) différence entre la notion de modèle proposée par Dlzlogic et Sylviel d'une part, et la notion présentée par Doraki, d'autre part.
Dlzlogic et Sylviel donnent l'exemple de modèles mathématiques en physique ou l'intuition et l'extrapolation jouent un rôle décisif, mais ou le modèle reste provisoire tant que les recherches, les expériences ou les nouvelles hypothèses ne sont pas en mesure d'en proposer de meilleurs. Tandis que Doraki expose un modèle mathématique correspondant à une théorie mathématique. Dans ce dernier cas le modèle n'a rien de provisoire.
Ce qu'il y a de commun en physique et en mathématiques, me semble-t-il, c'est ce qui donne du "sens" à la théorie (en mathématiques axiome vrai = axiome vrai par rapport à un modèle, modèle qui donne du sens à la théorie).
Enfin, dernière remarque, concernant la notion de modèle mathématiques, si le "pif" joue un rôle en physique, comment (technique, intuition,?...), partant d'une théorie mathématique, construit on un modèle mathématique ?

Cordialement

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 27 Aoû 2013, 18:47

Pour ma part, je crois que lorsque l'on peut partir d'une théorie mathématique, donc supposée exacte, le passage à un modèle ne peut se faire que par des simplifications, du type "on néglige ceci et cela" on sait ce qu'on néglige, on sait le quantifier, donc on fait cette simplification en parfaite connaissance de cause.

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leon1789
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par leon1789 » 27 Aoû 2013, 19:19

gast a écrit:Vous m'avez fourni des exemples intéressants. J'aime bien le "Pif" de Sylviel, c'est une façon d'(ré?-)introduire le rôle de l'intuition dans la démarche rationnelle.

Il est clair que l'intuition est un vrai moteur dans les sciences, et en particulier les mathématiques.
Pour avoir de bonnes intuitions, c'est comme partout, il faut avoir de la culture, de l'expérience, ou à défaut, de la chance.

Monsieur23
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par Monsieur23 » 28 Aoû 2013, 08:06

Aloha,

Est-ce que tu parles de modèle au sens "inter-sciences" du terme (comme Sylviel, Dzlogic), ou vraiment de théorie des modèles (comme Doraki) ?

Dans le second cas, je ne croit pas qu'il y ait de méthode générale pour trouver un modèle d'une théorie ; par contre, pour des théories simples, l'habitude permet de voir directement le modèle qu'on cherche.

Est-ce que tu as un exemple de théorie pour laquelle tu ne trouves pas de modèle ?
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »

gast
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par gast » 28 Aoû 2013, 08:35

Bonjour,

J'ai eu ma réponse au sens "inter-sciences". Je m'interrogeais concernant une technique éventuelle (sans parler de méthode générale) en matière de "théorie des modèles". Il me semble avoir lu que Gödel avait utilisé une certaine technique qui revenait à construire un modèle sur lequel il a basé sa démontration des théorèmes de la complétude et de l'incomplétude. En dehors de Gödel y a t-il d'autres exemples ?

Cordialement

gast
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par gast » 29 Aoû 2013, 05:16

Monsieur23 a écrit:Aloha,

Est-ce que tu parles de modèle au sens "inter-sciences" du terme (comme Sylviel, Dzlogic), ..?


Bonjour,

Existe-t-il des applications de la notion de modèle en informatique (je pense notamment aux fonctions d'autodiagnostic d'un programme)?

Cordialement

Monsieur23
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par Monsieur23 » 29 Aoû 2013, 08:41

Aloha,

En dehors de Gödel y a t-il d'autres exemples ?

Ben en fait, dès que tu as une théorie non contradictoire, tu as un modèle : N est modèle de l'arithmétique de Peano, V_k pour k cardinal inaccessible est modèle de ZFC, etc.

Existe-t-il des applications de la notion de modèle en informatique (je pense notamment aux fonctions d'autodiagnostic d'un programme)?


Je ne connais pas les fonctions d'autodiagnostic, mais oui, ça a des applications en info ; par exemple la théorie de la complexité est très liée à la notion de modèle fini (il me semble, ça n'est pas vraiment mon domaine).
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »

 

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