Vulgarisation d'une notion en math

[sebbell8]

Bonjour à tous,

Je m'intéresse aux fameuses équation différentielles mais mon manque de connaissance de base m’empêche de bien comprendre. JE sais que cela permet de comprendre certaines propriétés physiques comme le phénomène de radiation, ou de l'évolution d'une phénomène en fonction du temps. Je connais aussi la forme générale des équations différentielles ainsi que les notions de dérivées.

Alors pour préciser ma question pour résoudre une équation différentielle est ce "simplement" calculer ses dérivées et trouver les fonctions qui vérifient l'égalité ? En gros les solutions à trouver ne sont plus 1 ou pi ou 123 ou 1/3 c'est à dire des nombres mais plutôt des 2x^3 c'est à dire des fonctions ?

Merci à tous d'essayer de me vulgariser ça pour que je puisse progresser :=)

[Nicolas.L]

Oui effectivement ,une équation différentielle est une équation dont l’inconnue n'est pas une variable mais une fonction.
par exemple :



Ici l'inconnue est , c'est une fonction de . Et si est une fonction solution alors tu as pour tout de

[sebbell8]

Merci de ta réponse, mais alors une intégrale c'est quoi ? c'est l'inverse d'une équadiff ? Je demande car si j'ai bien compris équadiff et calcul intégral c'est lié.

[Nicolas.L]

Salut,

Une primitive d'une fonction c'est la solution à l'équation


C'est donc une fonction telle que

Si l'on connait une primitive de alors on peut calculer une intégrale de la forme
que l'on peut aussi écrire et qui se lit "intégrale de a à b de f".
Si F est une primitive de f alors on peut calculer cette intégrale :

[sebbell8]

re salut,

Ok je vois comment une intégrale se calcule mais qu'est ce qu'une intégrale ? Autant je >vois< ce que représente une equadiff autant je ne vois pas, je ne visualise pas ce que représente une intégrale. Ca sert à quoi ?

[Nicolas.L]

Alors, sur ce magnifique dessin, l'aire S vaut précisément


Pour comprendre comment on "construit" une intégrale, tu peux imaginer que toi tu veuille calcuer cette aire S. Et bien tu peux l'approcher par une somme d'air de rectangle comme sur cette image


Si tu fait la somme des aires des rectangles bleu qui vaut ici tu obtient quelque chose d'un peu plus grand que la valeur véritable de l'air.

Pour obtenir quelque chose d'un peu plus précis, tu peu prendre des rectangle plus petit.
L'intégrale de la fonction correspond à ce que tu obtient quand tes rectangles sont "infiniment petit"

[sebbell8]

Ok, je connaissais ce principe de calcul d'aire et de rectangle infiniment petit mais dans quels cas on se sert du calcul intégral ? Dans quel cas est il utile de connaitre l'aire contenu sous la courbe ?

Merci pour tes réponses ;)

[Nicolas.L]

alors l'exemple le plus simple je pense est celui de l'étude d'un objet qui accélère.

Si tu a un objet qui a une vitesse initialement nulle et qui à l'instant 0 se met acquiert une accélération de 10 mètre par seconde par seconde. alors on peut calculer sa vitesse à l'instant t car la vitesse est l'intégralle de l'accélération :


encore plus fort, on peut calculer la distance parcoure car c'est l'intégrale de la vitesse :

[sebbell8]

C'est encore un peu abstrait mais je commence à percevoir l'idée, c'est possible de transformer ces équation en figures ? quelque chose de plus concret ?

[Nicolas.L]

Alors pour un truc un peu plus concret (mais là je n'ai pas de figure désolé)

Imaginons qu'on aie une corde qui soit fine à l'un des bout mais de plus en plus épaisse. De telle sorte que sa masse linéique ( masse pour une certaine distance de corde) évolue de telle sorte que c'est à dire que le fragment de corde situé à une distance de centimètre de l'extrémité a une masse linéique de grame par centimètre.

Si ta corde fait 10 centimètre tu peux estimer sa masse totale en "découpant" ta corde en morceaux de 1cm et te dire que le n-ième morceau pèse environ 2n+2 gramme. Un peu comme avec les rectangle, ici tu obitiendrais un résultat trop petit. Mais plus tu prend des morceaux petit plus ton résultat sera proche.
Pour avoir le résultat exact, tu dois calculer l'intégrale

[sebbell8]

Salut,

Merci pour tes explications je commence à mieux comprendre bien que la notion d’intégrale soit encore un peu floue, peut on dire que l’intégrale c'est l'inverse d'une equadiff ?

Equadiff = calculs avec les dérivées , intégrale = calculs avec les primitives, en gros.

[Nicolas.L]

En fait on peut dire que le calcul différentiel étudie les dérivée tandis que le calcul intégral étudie les primitives mais c'est une vision très grossière de la chose..

Les equadiff ça combine un petit peu les deux

[Ingrid55]

euh.... L'accéleration d'un mobile est égale à a(t)= v'(t) soit la variation de la vitesse entre les instants t1 et t2 par intégrale a(t) = v(t2) - v(t1) .

Si on nous demande de calculer x en fonction de t par intégration (on doit trouver x =v0 cos théta * t) et on sait que l'angle théta du projectile lancé à une vitesse vo se situe entre 0 et pi/ 2 :
on sait que vx = dx/dt donc là , est-ce que je dois considérer que le mobile se déplace en ligne droite ? Car le déplacement du mobile se fait sur l'intervalle [0,pi/2] donc l'intégrale est v(x) dt = a(t2) - a(t1) = a(pi/2) - a(0). Mais le hic , je ne connais que la vitesse vo (instant t=0) et g = 0,981 et F = m*a.

[Nicolas.L]

@Ingrid55 : l'accélération du mobile est donnée par le principe fondamental de la dynamique mais je pense que tu devrai créer un nouveau sujet pour poser ta question

[Ingrid55]

D'accords ! (çà fait tellement longtemps que j'ai pas utilisé les intégrales en plus de la loi fondamentale de la dynamique).

[sebbell8]

Merci pour toutes vos réponses cela m'a été très utile, je voulais demander pour être sûr, la solution d'une equadiff c'est une fonction avec l'étude des dérivées ( en résumé) pour l’intégrale c'est la même chose, les solutions sont des fonctions sauf que ça concerne les primitives (en gros), mais je pense que vous n'allez pas trop être d'accord pour l’intégrale.

[fatal_error]

bonjour,

ta phrase en francais n'a aucun sens.
Pour etre clair peut etre peux-tu faire des phrases courtes :/

la solution d'une equadiff c'est une fonction avec l'étude des dérivées

non la solution dune equadiff c'est une fonction tout court. On s'en fou de savoir comment tu la trouves.
(précision: la solution n'est pas forcément unique, tu peux en avoir plein)

[Nicolas.L]

Effectivement je ne suis pas trop d'accord :lol3:

L'intégrale d'une fonction c'est avant tout un nombre. Par exemple alors, serte, pour calculer ce nombre il y a une étape de recherche de primitive..

Par contre si je considère l’équation différentielle alors là, ce que je cherche est une fonction et c'est une primitive de .

Encore une chose, quand on résout une équation différentielle, on passe plus de temps à chercher des primitives qu'a calculer des dérivée :lol3:

[sebbell8]

Donc l’intégrale d'une fonction c'est le calcul qui permet de connaitre l'aire sous la fonction f(x) entre les points (a;b) ? Et le résultat c’est un nombre dans R.

[Sake]

Donc l’intégrale d'une fonction c'est le calcul qui permet de connaitre l'aire sous la fonction f(x) entre les points (a;b) ? Et le résultat c’est un nombre dans R.

Pas trop clair encore.

L'intégrale est définie sur un intervalle en général. C'est un nombre réel si l'intégrale est définie, mais on peut aussi envisager des intégrales complexes.
Donc en calculant une intégrale (dans le cas d'une intégrale de fonction réelle), on calcule effectivement un nombre réel mais qui peut aussi valoir +infini ou -infini ou qui peut ne rien valoir du tout (intégrale divergente, cas général). On travaille donc dans .
Et lorsqu'on désigne une fonction, c'est par son nom, et pas f(x) qui en maths est un nombre, et en info une expression.