Théorie des ensembles

par **keyz** » 14 Aoû 2013, 20:10

Bonjour,

Un énoncé d'exercice en théorie des ensembles est le suivant:
Soit E l' ensemble des entiers naturels inférieurs à 10,
soit A={1,4,8,6,2}

et la question la suivante:
Quel est le complémentaire de A dans E?

Je vous demande de l'aide car je ne comprends pas le corrigé, merci d'avance...

par **capitaine nuggets** » 14 Aoû 2013, 20:21

Salut !

keyz a écrit:Bonjour,

Un énoncé d'exercice en théorie des ensembles est le suivant:
Soit E l' ensemble des entiers naturels inférieurs à 10,
soit A={1,4,8,6,2}

et la question la suivante:
Quel est le complémentaire de A dans E?

Je vous demande de l'aide car je ne comprends pas le corrigé, merci d'avance...

Salut, en notant

, l'ensemble complémentaire de

dans

, par définition :

est l'ensemble des éléments de

privés de ceux de

ou encore :

.

Remarques qui peuvent te servir pour voir si ce que tu dis paraît bon : Pour

:
1°/

2°/

3°/

par **keyz** » 14 Aoû 2013, 20:31

Merci pour votre post capitaine nuggets
Je voudrais comparer la réponse; car j'emets un doute quant à celle du livre...
Alors pour moi, le complémentaire de A dans E est {0,3,5,7,9}, est-ce bien cela?

par **capitaine nuggets** » 14 Aoû 2013, 20:47

keyz a écrit:Bonjour,

Un énoncé d'exercice en théorie des ensembles est le suivant:
Soit E l' ensemble des entiers naturels inférieurs à 10,
soit A={1,4,8,6,2}

et la question la suivante:
Quel est le complémentaire de A dans E?

Je vous demande de l'aide car je ne comprends pas le corrigé, merci d'avance...

Sans plus grande précision, "inférieur" signifie "

" alors que "strictement inférieur" désigne "

". Alors

.

keyz a écrit:Merci pour votre post capitaine nuggets
Je voudrais comparer la réponse; car j'emets un doute quant à celle du livre...
Alors pour moi, le complémentaire de A dans E est {0,3,5,7,9}, est-ce bien cela?

Du coup,

donc

par **keyz** » 14 Aoû 2013, 20:53

Merci, c'est pour cela je croyais que le symbole inférieur n'incluais pas le 10 et était strictement inférieur à 10.

par **capitaine nuggets** » 14 Aoû 2013, 21:17

De rien :++:

par **Dlzlogic** » 15 Aoû 2013, 12:51

Bonjour,

Sans plus grande précision, "inférieur" signifie "\le" alors que "strictement inférieur" désigne "<".

C'est officiel ?
Donc, si on dit "inférieur ou égal" c'est la même chose que "inférieur", donc "égal" est superflu, inutile parce que sous-entendu ?
Cette interprétation peut se justifier sans le cas des réels, mais j'aimerais bien confirmation dans le cas des entiers.
PS. Et pour être complet dans ma question si je dit "a=b/c avec c supérieur à zéro", c'est incorrect ?

par **Archytas** » 15 Aoû 2013, 14:39

Dlzlogic a écrit:Bonjour,

C'est officiel ?
Donc, si on dit "inférieur ou égal" c'est la même chose que "inférieur", donc "égal" est superflu, inutile parce que sous-entendu ?
Cette interprétation peut se justifier sans le cas des réels, mais j'aimerais bien confirmation dans le cas des entiers.
PS. Et pour être complet dans ma question si je dit "a=b/c avec c supérieur à zéro", c'est incorrect ?

Salut, Dlzlogic. Comme Capitaine Nugget c'est comme ça que je l'ai appris, sans précision c'est "inférieur ou égal" et si on veut préciser on rajoute "stricte" !

par **leon1789** » 15 Aoû 2013, 16:42

attention aux traductions français vs anglais
(et peu importe que l'on soit sur les entiers, réels, rationnels, décimaux, etc.)

en français,
"inférieur à" signifie

donc "inférieur ou égal" est une redondance pédagogique si on veut,
"strictement inférieur" signifie

en français, on dit nombre "strictement positif" pour désigner

en anglais, on dit nombre "non négatif" pour désigner

par **Dlzlogic** » 15 Aoû 2013, 18:15

Citation du petit Larousse (1977), je sais, c'est vraiment périmé, mais j'ai pas mieux :
"qui a une valeur mois grande" exemple : "note inférieure à la moyenne".

par **leon1789** » 15 Aoû 2013, 19:22

Ce n'est pas que le Larousse est périmé, c'est surtout qu'il n'a jamais été une référence pour des définitions mathématiques. Voici une référence un peu plus scientifique : http://www.cnrtl.fr/definition/sup%C3%A9rieur

par **Dlzlogic** » 15 Aoû 2013, 19:52

leon1789 a écrit:Ce n'est pas que le Larousse est périmé, c'est surtout qu'il n'a jamais été une référence pour des définitions mathématiques. Voici une référence un peu plus scientifique : http://www.cnrtl.fr/definition/sup%C3%A9rieur

Bon, alors, si c'est officiel, pourquoi ne pas l'avoir dit tout de suite ?
Finalement, je constate que les anglais ont plus de logique que nous. Ils utilisent en mathématiques les termes dans le même sens que celui du dictionnaire.
[EDIT]Par contre, je n'ai pas trouvé la signification mathématique pour "inférieur" faut-il le prendre comme contraire de supérieur, en ce cas, étant donné que supérieur doit être compris comme "supérieur ou égal" alors "inférieur" doit être compris comme "strictement inférieur".
Tu vois, malgré tes efforts, on tourne en rond.

par **leon1789** » 15 Aoû 2013, 21:07

Dlzlogic a écrit:[EDIT]Par contre, je n'ai pas trouvé la signification mathématique pour "inférieur" faut-il le prendre comme contraire de supérieur, en ce cas, étant donné que supérieur doit être compris comme "supérieur ou égal" alors "inférieur" doit être compris comme "strictement inférieur".
Tu vois, malgré tes efforts, on tourne en rond.

Oui je vois bien, malgré mes efforts, tu tiens à tourner en rond.

Inférieur est la notion "duale" de supérieur (ie x est inférieur à y lorsque y est supérieur à x), pas sa négation (ou contraire comme tu dis)... Un peu de logique que diable ! :ptdr:

Exemples :
2 est à la fois supérieur et inférieur à 2
le nombre complexe i (le i de i²=-1) n'est ni supérieur ni inférieur à 2 .

par **Dlzlogic** » 15 Aoû 2013, 23:14

Bon, d'accord pour tout.
Simplement je plains les élèves qui feront de l'informatique en général et auront à utiliser l'algèbre de Boole en particulier.
Pour moi, dans mon langage assez primaire, il est vrai, 2 n'est ni supérieur, ni inférieur à 2, mais 2 est égal à 2.
Là on parle en nombre entiers, la même discussion en nombre réels mériterait un autre sujet. (Par ailleurs les complexes, c'est un autre chapitre. Il ne faut pas tout mélanger.)
A toi d''ouvrir la discussion sur les nombres réels, si tu veux.

par **leon1789** » 16 Aoû 2013, 09:04

Ok, mais en maths, ce n'est pas l'informatique qui fait foi. Comme je disais plus haut, mathématiquement, pour parler de «

», il n'y a pas lieu de distinguer les entiers des réels. Et les nombres complexes n'ont pas non plus à être écartés, même s'il faut faire attention dans ce cas. Il y a également plein d'autres ensembles (et pas forcément des nombres !) qui entre dans le chapitre "Relation d'ordre".

Je crois qu'il est bon de rappeler la définition mathématique "officielle" d'une relation d'ordre :

Une relation d'ordre est une relation binaire réflexive, transitive et antisymétrique : soit E un ensemble et une relation binaire sur cet ensemble notée « », cette relation est une relation d'ordre si pour tous x, y et z éléments de E les trois points suivants sont vérifiés :
(1.) x x (réflexivité)
(2.) (x y et y x) x = y (antisymétrie)
(3.) (x y et y z) x z (transitivité)

La relation binaire « » est définie par : x y si et seulement si y x.

Ensuite, viennent les symboles « » :
x y si et seulement si x y et x y.

Ici E est un ensemble quelconque, il peut s'agir de l'ensemble des entiers, des réels, des complexes, ou même bien d'autres choses (ensemble d'ensembles, etc.)

Il est important de voir que la réflexivité (x

x) est demandée dans la définition : c'est parce que cela doit être mathématique utile, non ? Quant à elle, la relation < n'est pas réflexive.

Par ailleurs, nulle part dans cette définition, on ne demande que deux éléments de E soient toujours comparables. On parle d'ordre partiel (quand il existe

non comparable, par exemple

, ou les parties

) ou d'ordre total (quand tous les

sont comparables, par exemple les réels, les entiers).

par **leon1789** » 16 Aoû 2013, 20:39

Dlzlogic a écrit:Pour moi, dans mon langage assez primaire, il est vrai, 2 n'est ni supérieur, ni inférieur à 2, mais 2 est égal à 2.
Là on parle en nombre entiers, la même discussion en nombre réels mériterait un autre sujet. (Par ailleurs les complexes, c'est un autre chapitre. Il ne faut pas tout mélanger.)

Comme je disais, il n'y a pas lieu, quand on parle de < ou

en mathématiques, de distinguer les entiers, les réels, etc.

Je comprends que dire "inférieur" en pensant à "

" peut étonné, et qu'on pourrait penser qu'il est plus naturel de dire "inférieur" en pensant à "

" .

Mais je crois qu'il est bon de faire un peu de maths pour comprendre pourquoi on est arrivé à dire "inférieur à" pour "

" et "strictement inférieur à" pour "

". En fait, mon explication se base sur des mathématiques que tout le monde peut comprendre :

Il faut savoir que "

" est une relation d'ordre, notion importante en mathématique. Rappel de la définition :

Une relation d'ordre est une relation binaire réflexive, transitive et antisymétrique : soit E un ensemble et une relation binaire sur cet ensemble notée « », cette relation est une relation d'ordre si pour tous x, y et z éléments de E :
x x (réflexivité)
(x y et y x) x = y (antisymétrie)
(x y et y z) x z (transitivité)

On associe également à toute relation d'ordre , une relation dite dordre strict notée alors < (qui n'est pas à proprement parlé une relation d'ordre puisque la réflexivité n'est pas satisfaite), qui est la restriction de la relation d'ordre aux couples d'éléments distincts :
x < y si et seulement si x y et x y.

Existe-t-il d'autre relation d'ordre que

(et

) ? Bien sûr ! Il existe l'inclusion des ensembles par exemple, notée

. C'est une relation d'ordre partiel, mais c'est bien une relation d'ordre.
Il y a aussi la division

sur les entiers, ou les polynômes, qui est aussi une relation d'ordre partiel.

Alors quel rapport avec notre discussion ? C'est simple :
dit-on {1,2} est "inclus dans" {1,2} ? Oui
dit-on {1,2} est "inclus dans ou égal à" {1,2} ? Non
dit-on 4 divise 4 ? Oui
dit-on 4 "divise ou égale" 4 ? Non

Bref, on ne dit jamais "ou égal"... Il paraît donc assez logique de dire
2 est "inférieur" à 2
et pas 2 est "inférieur ou égal" à 2.

Quant au mot "strict", il a bien sa place dans le langage mathématique :
{1,2} est "strictement inclus dans" {1,2,3} ;
4 "divise strictement" 8
2 est "strictement inférieur" à 4

De même, on peut penser aux fonctions :
quand on parle de fonction "croissante" ( x

y

f(x)

f(y) ) , on sous-entend que cette fonction peut être constante de temps en temps (on n'a jamais dit "fonction croissante ou constante" !). Sinon on parle de fonction "strictement croissante" ( x < y

f(x) < f(y) ).

Bref, ma conclusion est qu'en mathématique, c'est bien plus homogène de permettre l'égalité quand on dit "inférieur à" (ou "supérieur à"), "inclus dans" (ou "contient"), "divise" (ou "est multiple de"), etc.
et d'utiliser le mot "strictement" quand nécessaire.

par **Dlzlogic** » 16 Aoû 2013, 23:01

Oui, tout ça est fort intéressant.
Pourquoi tu dis tout cela sur un forum français, alors qu'à l'évidence, ce sont les anglais à qui tu dois apprendre ces choses là.
Il me semble que tout le monde sur ce forum a bien compris que "inférieur" veut dire "inférieur ou égal". Il n'y a que les anglais qui ne le savent pas.
Concernant la différence entre entiers et réels, on en parle quand tu veux, mais il faut ouvrir un nouveau sujet.

Petit commentaire perso : en mathématique, on peut énoncer tout ce qu'on veut, le seul critère (limite de validité) est la résolution de questions dans le monde du réel. Ne me tente pas en me demandant des exemples.

par **adrien69** » 16 Aoû 2013, 23:46

C'est vraiment brillant comme explication Léon. Tu l'as déduite par toi-même ou lue dans un bouquin et tu la paraphrases ? Si c'est un bouquin je veux bien la référence, genre vraiment. Et si ça vient de toi, eh bien bravo.

par **leon1789** » 17 Aoû 2013, 08:46

Dlzlogic a écrit:Pourquoi tu dis tout cela sur un forum français, alors qu'à l'évidence, ce sont les anglais à qui tu dois apprendre ces choses là.

Tes remarques sont encore une fois désobligeantes...

Dlzlogic a écrit:Petit commentaire perso : en mathématique, on peut énoncer tout ce qu'on veut, le seul critère (limite de validité) est la résolution de questions dans le monde du réel.

Je préfère encore que tu parles d'informatique, cela me fait moins bondir que tes visions "décalées" sur les maths.

Dlzlogic a écrit:Il me semble que tout le monde sur ce forum a bien compris que "inférieur" veut dire "inférieur ou égal". Il n'y a que les anglais qui ne le savent pas.

Toi qui croyais que inférieur et supérieur étaient des notions "contraires", je suis bien content que tu dises que tout le monde a compris.

par **leon1789** » 17 Aoû 2013, 08:49

adrien69 a écrit:C'est vraiment brillant comme explication Léon. Tu l'as déduite par toi-même ou lue dans un bouquin et tu la paraphrases ? Si c'est un bouquin je veux bien la référence, genre vraiment. Et si ça vient de toi, eh bien bravo.

J'ai juste copié/collé la définition d'une relation d'ordre de http://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_d'ordre.
Merci :lol3:

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