Fonctions: problème

[Mouaa]

[FONT=Tahoma]Bonjour à tous,
J'ai un DM à faire pour la rentrée et je n'arrive pas à le faire.

Énoncé:
ABC est un triangle rectangle en a tel que: AB = 4cm et AC = 3cm
I est le milieu du segment [AB].
M est un point de [AC] et N un point de [BC] tel que le triangle CMN a pour aire 2cm².
1- On pose CM = x et CN = y. Montrer que y = 5/x
2- Déterminer les positions des points M et N pour que l'aire de IMN soit minimale.

Voilà ce que moi j'ai fait:
1-
• Je sais que l'aire de MNC = 2cm²
• Je peux déduire que [AI] = [BI] = 2cm
• Je sais que le formula de l'aire = (b*h)/2
• Je calcule [BC] grâce au théorème de Pythagore [BC] = 5cm
Pour calculer l'aire de CMN je prends comme base [CM]soit x et comme hauteur [JN] ([JN] étant parallèle à [AI], je peux déduire que [JN] = 2cm.
Donc Aire CMN = (b*h)/2
2 = (x*2)/2
2 = x
J'applique le théorème de Thalès dans les triangles IBN et ABC:
BN/BC = BI/BA
(5-y)/5 = 2/4
(10-2y-5)/10 = 0
5-2y = 0
-2y = -5
y = 5/2
Je peux donc déduire que y = 5/x (2.5 = 5/2)

Donc voilà je ne sais pas si mon raisonnement est bon et puis pour la question 2 je ne sais pas comment me lancer.
J'espère beaucoup que vous pourrez m'aider !
Merci d'avance.[/FONT]

[annick]

Bonjour,
je n'ai pas bien compris comment tu déduisais que JN=2 car égal à AI. Cela m'étonne car ça voudrait dire que l'on peut appliquer le théorème de la droite des milieux au triangle CAB et que N serait le milieu de [CB], ce qui n'est pas précisé.

Sinon, en partant de ce que tu as trouvé et qui est bon, je dirait qu'effectivement

Aire CMN=(CM.JN)/2

Thalès dans CAB et CNJ donne les rapports : CN/CB=JN/AB soit JN=(CN.AB)/CB=4y/5

Aire CMN=(1/2)(4xy/5)=4

Soit : y=5/x

[annick]

Pour ta deuxième question, il faut maintenant que tu étudies la fonction y=5/x et que tu cherches le minimum de cette fonction, soit étude de dérivée et tout...

[Mouaa]

Bonjour,
Tout d'abord merci votre réponse.
Par contre je n'ai pas compris pourquoi vous mettez aire = 4 ?
Est ce parce que ce sont 2 cm ² ?

[annick]

Oups !!! Erreur dans ma rédaction sur cette ligne, mais le résultat est bien celui annoncé :

(1/2)(4xy/5)=2 soit 4xy/5=4 d'où xy=5 et y=x/5

Désolée pour l'erreur (je n'irai pas jusqu'à te dire que c'est pour voir si tu suivais bien !!! :lol3: )

[Mouaa]

Et pour la question 2 j'ai trouvé la dérivé qui me semble être: -5/x²
Je fais mon tableau de signes et de variations qui me montre que ma fonction est décroissant sur ]-;);0[U]0;+;)[.
Mais après je ne comprend pas ce qu'il faut que je fasse ?
Merci pour votre aide

[Mouaa]

Ah oui du coup je comprend merci beaucoup !

[annick]

Il faut que tu fasses attention aussi que x et y ne varient pas de -00 à +00 car M est un point de [AC] et N un point de [BC]

[Mouaa]

Je suis désolée mais je ne comprends pas comment il faut faire...
Car si je remplace 4 dans ma fonction je trouve y = 1.25 si ensuite je remplace y par 1.25 dans la fonction je trouve x = 4 or ce n'est pas possible puisque AC = 3cm...
Merci d'avance

[annick]

Nouveau oups !!! Je n'avais pas vu que c'était l'aire IMN qui devait être minimale et non CMN. Les réponses précédentes sont donc fausses. En plus j'aurais du m'en apercevoir puisque l'aire CMN on la connait (quand on ne se trompe pas), c'est 2.
Bon, je réfléchis à ça et on voit ce que ça donne. (il faut dire que je trouvais bizarre que l'on te demande le minimum d'une fonction qui est toujours décroissante !)

Vraiment désolée pour ces étourderies du samedi soir.

[Mouaa]

Ne vous inquiétez pas sans vous je serez toujours bloquée ;)
Est-ce que je dois remplacer par 4 pour trouver y = 1.25 et ensuite par 3 pour trouver x = 5/3 ?

[annick]

Pour moi, si on part donc de l'idée qu'on cherche Aire IMN, je dirais que c'est :

AireABC-AireCMN-AireBNI-AireAMI

Je calculerai aireBNI de la même façon que ce que nous avions fait pour CMN en prenant K le pied de la hauteur issue de N et en utilisant Thalès dans BAC et BKN pour trouver NK

Les autres sont faciles à calculer.
Et à la fin, il ne faudra pas oublier que nous avions trouvé une relation entre y et x pour exprimer toute l'aire de MNI en fonction de x.

Je ne sais pas s'il y a une méthode plus simple, mais c'est ce qui me vient à l'esprit.

[Mouaa]

Merci beaucoup je vais essayer de faire ça d'ici demain et je vous donnerai mes résultats si vous le voulez bien.
Merci d'avance

[Mouaa]

Ce qu'on cherche ce sont les positions des points M et N pour que l'aire de IMN soit minimale. Comment puis-je faire ?

[annick]

C'est ce que je te disais plus haut : tu cherches l'aire IMN en fonction de x et tu cherches ensuite le minimum de la fonction que tu as trouvé.

[Mouaa]

J'ai trouvé l'aire de:
• ABC = 6 cm²
• CMN = 2 cm²
• AMI = 3-x cm²
• BNI = (60-12y)/5 cm²
Mais je ne comprend pas comment je fais pour trouver le minimum de la fonction ?

[annick]

Je crois que je ne trouve pas la même chose que toi pour BNI.(à vérifier). Ensuite, tu peux exprimer cette aire en fonction de x puisque tu sais que y=5/x
Sinon, tu as :

IMN=ABC-CMN-BNI-AMI ce qui va te donner une fonction en x et tu chercheras le minimum de cette fonction.

[Mouaa]

Je pense avoir trouvé l'aire de BNI qui serait de: (x²-149x-25)/x ?
ensuite j'ai fait la dérivée j'ai trouvé (x²-298x-25)/x²
Et du coup ma fonction et toujours croissante mais quelle est mon intervalle pour trouver le minimum ?
Merci beaucoup de votre aide et de votre patience !

[Mouaa]

L'aire de IMN pas de BNI excusez moi pour cette étourderie !

[Mouaa]

J'ai refais mon calcul et il me semble que je me suis trompé en effet j'ai trouvé que l'aire de BNI = (15x-5)/x et du coup l'aire de IMN (x²-14x+5)/x