Développement d'une somme

[cassou44770]

Bonjour,
comment faire pour montrer que somme k.comb(n,k)=n2puissance (n-1)?
J'ai essayé en aplliquant la linéarité et au final je suis bloqué à ((n(n+1)/2).2puissance n
merci

[cassou44770]

en sachant qu'on a auparavant démontrer la formule suivante: somme des k allant de 0 à p comb(n,k).comb(n-k,p-k) = 2puissance p .comb(n,p)

[Pianoo]

Tu peux utiliser la formule :
mais avant cela il faudra avoir pris soin de faire le bon changement d'indice dans ta somme ...

[cassou44770]

Tu peux utiliser la formule :
mais avant cela il faudra avoir pris soin de faire le bon changement d'indice dans ta somme ...

En faisant le changement d'indice j=k-1 cela marcherait non? La somme irait de -1 à n-1 et comme on pourrait sortir n devant la somme et utiliser le binôme de Newton pour simplifier la somme

[Pianoo]

En faisant le changement d'indice j=k-1 cela marcherait non? La somme irait de -1 à n-1 et comme on pourrait sortir n devant la somme et utiliser le binôme de Newton pour simplifier la somme

Tu peux faire ce changement d'indice oui mais une somme indicée à -1 c'est peut-être pas très simple à manipuler ...
Par contre ensuite je ne vois pas ce que tu veux dire : sortir n ? comment ça ? on n'a pas de n dans la somme à ce moment donné, on a que du k (ou du j).


L'idée c'est d'observer que dans :
le terme pour k=0 ne sert à rien (terme nul) tu peux donc réécrire cette somme :

Ensuite tu utilises la relation que je t'ai donnée sur les combinaisons ...
c'est ensuite que viendra la changement d'indice pour enfin conclure.

[cassou44770]

Tu peux faire ce changement d'indice oui mais une somme indicée à -1 c'est peut-être pas très simple à manipuler ...
Par contre ensuite je ne vois pas ce que tu veux dire : sortir n ? comment ça ? on n'a pas de n dans la somme à ce moment donné, on a que du k (ou du j).


L'idée c'est d'observer que dans :
le terme pour k=0 ne sert à rien (terme nul) tu peux donc réécrire cette somme :

Ensuite tu utilises la relation que je t'ai donnée sur les combinaisons ...
c'est ensuite que viendra la changement d'indice pour enfin conclure.

Ne peut on pas simplifier k.(n/k) par n?

[Pianoo]

Ne peut on pas simplifier k.(n/k) par n?

Si si j'avais pas compris dans ta phrase que tu avais fait apparaître du n/k

[cassou44770]

Si si j'avais pas compris dans ta phrase que tu avais fait apparaître du n/k

c'est pas grave. Du coup j'enlève le 1er terme de la somme car il est nul, je transforme avec la formule que tu as mise, puis je simplifie en faisant disparaitre les k, il reste alors n et le coefficient binomial, je sors le n de la somme et dans la somme je transforme en utilisant le binome de newton ?
J'ai essayé et ça marche en tout cas

[Pianoo]

c'est pas grave. Du coup j'enlève le 1er terme de la somme car il est nul, je transforme avec la formule que tu as mise, puis je simplifie en faisant disparaitre les k, il reste alors n et le coefficient binomial, je sors le n de la somme et dans la somme je transforme en utilisant le binome de newton ?
J'ai essayé et ça marche en tout cas

C'est ça sauf quand tu dis que tu utilises la formule du binôme de Newton .... en fait tu appliques juste la formule que tu as rappelée au début :

[cassou44770]

C'est ça sauf quand tu dis que tu utilises la formule du binôme de Newton .... en fait tu appliques juste la formule que tu as rappelée au début :

Oui exact pas besoin de faire la démonstration de cette formule qui est dans le cours. Merci beaucoup pour ton aide :we:

[cassou44770]

Par contre après je dois calculer Somme de k allant de 0 à n k puissance 2 .comb(n,k) en me servant de la réponse précédente (le calcul de cette somme ou k n'est juste pas au carré) et d'une formule auparavant démontrée qui est la suivante: somme k allant de 0 à p comb(n,k)comb(n-k,p-k)= 2puissance p comb(n,p) en remplaçant p par n-2 et je n'y arrive pas.
Je ne sais pas par quoi commencer.
Peut être en multipliant ce que j'ai trouvé tout à l'heure par la somme des k, mais dans ce cas la je n'utilise pas l'autre formule...

[Pianoo]

Par contre après je dois calculer Somme de k allant de 0 à n k puissance 2 .comb(n,k) en me servant de la réponse précédente (le calcul de cette somme ou k n'est juste pas au carré) et d'une formule auparavant démontrée qui est la suivante: somme k allant de 0 à p comb(n,k)comb(n-k,p-k)= 2puissance p comb(n,p) en remplaçant p par n-2 et je n'y arrive pas.
Je ne sais pas par quoi commencer.
Peut être en multipliant ce que j'ai trouvé tout à l'heure par la somme des k, mais dans ce cas la je n'utilise pas l'autre formule...

Bon alors il doit y avoir plusieurs façons de faire parce que je ne vois vraiment pas l'utilité de ta formule :
"somme k allant de 0 à p comb(n,k)comb(n-k,p-k)= 2puissance p comb(n,p)"
pour répondre à cette question.

Pour moi cette question se traite seulement avec la question précédente (à savoir ) ET à l'aide d'une petite astuce (une petite formule pour être plus précis entre k² et k) qui est difficile à deviner si tu ne l'as jamais vue ...

[cassou44770]

Bon alors il doit y avoir plusieurs façons de faire parce que je ne vois vraiment pas l'utilité de ta formule :
"somme k allant de 0 à p comb(n,k)comb(n-k,p-k)= 2puissance p comb(n,p)"
pour répondre à cette question.

Pour moi cette question se traite seulement avec la question précédente (à savoir ) ET à l'aide d'une petite astuce (une petite formule pour être plus précis entre k² et k) qui est difficile à deviner si tu ne l'as jamais vue ...

Pour moi non plus ça ne sert à rien mais dans la consigne il est écrit qu'il faut l'aplliquer en remplaçant p par n-2...
je ne sais pas si c'est à cette formule que tu fais réfèrence mais je pensais à somme de k allant de 0 à n = (n(n+1))/2

[Pianoo]

Pour moi non plus ça ne sert à rien mais dans la consigne il est écrit qu'il faut l'aplliquer en remplaçant p par n-2...

Ok je vais chercher en utilisant cette formule alors.

je ne sais pas si c'est à cette formule que tu fais réfèrence mais je pensais à somme de k allant de 0 à n = (n(n+1))/2

Non non pas du tout. Je pensais à une formule toute bêbête où tu écris k² en fonction de k mais qui est bien pratique parfois. (Mais bon si ce n'est pas la méthode que tu dois utiliser laisse tomber)

[Pianoo]

Ah si je viens de trouver comment faire avec ta méthode ... mais il te faudra quand même la petite formule astuce dont je parlais.

Bah commence par écrire la formule qu'on te dit d'utiliser avec p = n - 2, ensuite elle se simplifie un peu de façon à obtenir une formule qui ressemble aux formules que tu as vues dans les questions précédentes.

[cassou44770]

Ok je vais chercher en utilisant cette formule alors.

Merci beaucoup pour ton aide!

Non non pas du tout. Je pensais à une formule toute bêbête où tu écris k² en fonction de k mais qui est bien pratique parfois. (Mais bon si ce n'est pas la méthode que tu dois utiliser laisse tomber)

Ok, je ne vois pas laquelle c'est mais ce n'est pas grave

[cassou44770]

Merci beaucoup pour ton aide!

[Pianoo]

Je ne t'ai pas écrit l'astuce complète pour que tu cherches parce que vous l'avez peut-être déjà vu en cours ou en exos.

C'est ça la formule à utiliser : k² = k(k-1) + k

[cassou44770]

Je ne t'ai pas écrit l'astuce complète pour que tu cherches parce que vous l'avez peut-être déjà vu en cours ou en exos.

C'est ça la formule à utiliser : k² = k(k-1) + k

oui en effet ça me dit quelque chose, mais en utilisant cette formule je n'utilise toujours pas celle du début si?

[Pianoo]

Tu utilises cette petite formule pour te "débarrasser" du k², ensuite tu dois retrouver la formule qu'on te demande d'utiliser (celle pour p = n-2) mais il y a quelques manipulations à faire sur tes sommes.