Devoir de vacances pour entrée en prépa

[helix]

Bonjour,

pouvez vous m'aider à résoudre des équations différentielles,

par exemple, y' + 2y = exp[-2x] où je dois chercher une solution particulière de la forme y = a.x.exp[-2x]

en dérivant y et par identification j'obtient

0= exp[-2x]

que dois-je conclure

de plus

je n'ai jamais rencontré d'équation differentielle de la forme
y'' + 4y = 0
pouvez vous me donner une méthode pour la résoudre.

merci

[tize]

Il me semble que si :
vérifie l'equadiff alors
donc et pour solution particulière. Comme les solutions de l'equation homogène sont de la forme : ( constante), les solutions sont de la forme :
sauf erreur de ma part...

Pour tu n'as jamais entendu parlé de polynome caractéristique d'une équadiff ?

[tize]

Méthode pour : :
En général si tu as une équadiff de la forme : le polynome caractéristique de l'équadiff est : . Si ses racines sont sont des racines simples alors les solutions sont de la forme :

[le fouineur]

Bonjour helix,

Pour la première équation,cherche d'abord à résoudre l'équation sans second membre soit: y'+2*y=0 ,ensuite il faut poser une solution particulière telle que y=a*x*Exp[-2*x] Vu?

Pour la deuxième équation,c'est une forme classique:

y''+w^2*y=0 il y a une solution type du genre: y=A*Sin[w*x]+B*Cos[w*x]

je te laisse déterminer w....

Cordialement le fouineur

[Daragon geoffrey]

slt pour la première équation, procède ds cet ordre pour la résoudre :
résoud léquation homogène ie léquation ss second membre associée qui est y'+2y=0 équiv à y'/y=-2 (en supposant que y soit strictement positive)équiv à (en intégrant) ln|y|=(-2x)+k où k est une constante réelle déterminée pa les conditions initiales ! ensuite tu cherches une solution particulière sous la forme y(x)=t(x)exp[-2x] implique
y'= t'(x)exp[-2x] -2exp[-2x]t(x), or y est supposé solution de léquation avec second membre alors par définition y vérifie la relation y'+2y=exp[-2x] noté (E), on injecte lexpression précédente pour obtenir t'(x)exp[-2x]=exp[-2x]équiv à (en intégrant) t(x)=x+l où l est une constante réelle déterminé par les conditions initiales ! la solution générale de (E) est obtenue en ajoutant à la solution générale de léquation homogène une solution particulière de (E) donc y(x)=kexp[-2x]+(x+l)exp[-2x]=... pour l'équa diff linéaire du second degré je constate que tize ta déjà aidé donc ça devré aller ! @ +

[tize]

(en intégrant) ln|y|=e^(-2x) e^c

y'a comme un petit hic, non...

[Daragon geoffrey]

en effet merci tize je corrige cela o plus vite @ +

[helix]

MERCI pour vos conseils.

dans un livre j'ai pu lire
que la solution de y'' + 4y = 0
est y = a.cos(2t) + b.sin(2t)
qu'en pensez vous ?

[tize]

OK avec a et b complexes

[nekros]

MERCI pour vos conseils.

dans un livre j'ai pu lire
que la solution de y'' + 4y = 0
est y = a.cos(2t) + b.sin(2t)
qu'en pensez vous ?

Bonjour,

Il suffit de résoudre l'équation caractéristique : ce qui donne et

Les solutions de l'équation différentielle sont donc de la forme :



Thomas G :zen:

[nekros]

De manière générale, pour une équation différentielle de la forme :

On détermine l'équation caractéristique
Si

Si tu veux la démo, clique ici

Thomas G :zen:

[helix]

ok merci pour cette précision.

mais concernant y' + 2y = exp(-2x) où je dois chercher une solution particulière de la forme y= a.x.exp(-2x)
mon ancien professeur de maths m'a enseigné la démarche suivante

je dérive y = a.x.exp(-2x)
j'obtient -2.a.x;exp(-2x)
je remplace
-2.a.x.exp(-2x) + 2.a.x.exp(-2x) = exp(-2x)
j'obtient donc 0 = exp(-2x)

je ne sais pas comment conclure, peut-être que l'équation est impossible ?

[nekros]

Salut,

En fait, tu ne peux pas chercher une solution particulière de la forme car est solution de l'équation différentielle.

Il faut chercher une solution particulière de la forme (tu élèves le degré du polynôme)

On a donc

En remplaçant, on a donc :

(car ) soit et par identification.

Une solution particulière est donc :

[helix]

pourtant l'énonce me suggère d'utiliser cette solution particulière
y = a.x.exp(-2x)

[nekros]

Désolé, j'ai lu

En prenant , on a

En remplaçant, on a donc :

soit d'où

Tu t'es juste trompé dans la dérivée : c'est la dérivée d'un produit.

[nekros]

Ok j'ai mal lu ! :briques:

Tu t'es trompé dans la dérivée : c'est la dérivée d'un produit.

[nekros]

Salut,

Helix, tu t'es trompé dans la dérivée : c'est la dérivée d'un produit.

Il faut chercher une solution particulière de la forme (tu élèves le degré du polynôme)

On a donc

En remplaçant, on a donc :

(car ) soit

On a donc par identification : et

Une solution particulière est donc :

PS : tu es sûr de l'indication de ton énoncé ?

[hanouna]

Je pense que Helix a trouvé la meme solution particulière Y1=exp(-2x),aprés elle l'a remplaçé dans l'équation diff y'+2y=exp(-2x) ,ce qui donne exp(-2x)=0 d'ou l'absurde.nes pas :!:

[nekros]

Je pense que Helix a trouvé la meme solution particulière Y1=exp(-2x),aprés elle l'a remplaçé dans l'équation diff y'+2y=exp(-2x) ,ce qui donne exp(-2x)=0 d'ou l'absurde.nes pas

Salut,

Helix s'est trompé dans la dérivée.

[hanouna]

pourtant l'énonce me suggère d'utiliser cette solution particulière
y = a.x.exp(-2x)

si l'énonce vous le suggère,alors on obtient la solution particulière y1=0,en effet:
y'+2y=aexp(-2x)-2axexp(-2x)+2axexp(-2x)
=aexp(-2x)
=0.
d'ou: a=0.
dans le cas générale ,exp(-2x)=0,ce qui est absurde.je pense.