Test d'entrée en MPSI à LLG, 2005 ; un must!

[Anonyme]

Hi,
possedez vous le corrigé du test d'entrée en MPSI à LLG, 2005 ?
Sinon, voila deux des difficiles exercices; comment les resoudre ?

1-On suppose que le plan est colori´e avec deux couleurs, par exemple bleu et rouge : chaque point
du plan est donc soit bleu soit rouge. Montrer que, quel que soit le coloriage, on peut toujours
trouver un triangle rectangle et isoc`ele dont les trois sommets sont de la mˆeme couleur.

2-Soit n > = 1 un entier. On dispose de n+2 objets distincts num´erot´es de 1 `a n+2 que l’on souhaite
ranger dans n tiroirs ´egalement num´erot´es de 1 `a n. De combien de mani`eres di´erentes cela
est-il possible sachant que chaque tiroir doit contenir au moins un objet ?

Merci

[palmade]

Pour le premier, raisonnons par l'absurde, et supposons qu'il n'esiste pas de triangle isocèle restangle dont les trois sommets soient de même couleur. Prenons un carré; 3 de ses sommets ne peuvent bien sûr être de même couleurs: il y a donc deux bleus et deux rouges. Le centre de ce carré est soit bleu soit rouge, donc les sommets du carré de même couleurs sont situés en diagonales (s'ils étaient adjacents, ceux de la même couleur que le centre formeraient triangle avec celui-ci).
Interessons nous alors à une moitié du carré, le triangle dont l'hypothénuse comporte trois points (avec le centre) de même couleur. Chaque milieu des deux autres cotés ne peut être de la couleur de l'hypothénuse, sous peine de pouvoir former un triangle unicolore avec un sommet de l'hypothénuse et le centre. Mais ils ne peuvent être tous deux de la même couleur que le sommet opposé à l'hypothénuse...

[MooMooBloo]

Qu'est-ce que c'est que ce "test d'entrée"? jms entendu parler...

[phenomene]

J'ai une question bête : qu'est-ce que le test d'entrée à LLG? Le lycée Louis-le-Grand ne recrute-t-il pas ses élèves selon la procédure commune à tous les autres lycées français, sur dossier ? J'avais cru comprendre que les classes préparatoires préparaient à des concours, et non pas que les concours précédaient l'entrée en prépa... En tout cas, aucune mention n'est faite au sujet d'un test d'entrée sur le site du lycée (y compris pour des cas particuliers comme les candidats étrangers) : http://lyc-llg.scola.ac-paris.fr/pratique/admissions/index.php.
Voilà, je ne connais pas ce lycée de près et j'ignore peut-être quelque chose, mais j'aimerais des explications sur ce test d'entrée.

[palmade]

Pour le second, il y a n(n+1)(n+2)/6 façons de former un trio avec n+2 objets distincts, et (n+1)(n+2)/2 façons de former un couple; pour former le deuxième couple, il y a n(n-1)/2 choix possibles, mais ce faisant on tient compte de l'ordre, donc on compte chaque couple deux fois. Il y a donc
(n-1)n(n+1)(n+2)/8 façons de former 2 couples, soit en tout
n(n+1)(n+2)(3n+1)/24 façons de grouper les objets.
Il ne reste plus qu'à multiplier ça par n! façons de les ranger dans n tiroirs distincts...

[MooMooBloo]

Oui, je me joins à ce dit phénomène. Peux tu nous éclairer non-inscrit? Comment l'ennoncer peut-il circuler?

[Galt]

Louis le Grand fait passer des tests d'entrée aux élèves étrangers qui n'ont pas été scolarisés dans des établissements français. J'en ai mis trois en ligne sur
http://jgaltier.free.fr/Sujets_difficiles/louis1.pdf
http://jgaltier.free.fr/Sujets_difficiles/louis2.pdf
http://jgaltier.free.fr/Sujets_difficiles/louis3.pdf

[Anonyme]

A Galt

oUI, c'est comme vos sujets mais version 2005 ( le test de cette annee ); a propos des 3 sujets chez vous, avez vous le corrigé ?

Voici un autre exercice de ce test ( j'ai pu le resoudre );
1. Soit ABC un triangle du plan et C' le milieu de [AB]. Comparer AC + BC et 2CC'.

[phenomene]

Louis le Grand fait passer des tests d'entrée aux élèves étrangers qui n'ont pas été scolarisés dans des établissements français

Merci du renseignement. J'imaginais quelque chose dans ce genre, mais comme il n'est pas fait mention de ces tests sur le paragraphe du site correspondant aux candidats étrangers, je m'interrogeais.