Fonction exponentielle avec applications sur différents coûts

[m.sousa]

bonjour je suis nouveau sur le forum et j'aimerai avoir votre aide afin de résoudre cette exercice étant donné que j'ai du mal à dériver exponentielle

voici le sujet : Le coût total d'une production, en millier d'euros, est donnée par : C(x)=2x+xe^-x+2 +10 où la quantité x, en tonne est comprise entre 0,5 tonne et 5 tonnes.

Partie A coût marginal
question numéro 1
montrer que cm(x)= e^-x+2(1-x) +2 puis que sa dérivée est donnée par cm'(x)=(x-2)e-^x+2

question numéro 2 a) Etudier le signe de cm'(x) sur [0.5;5]
b) En déduire le tableau de variation de la fonction cm sur [0,5;5]
question numéro 3 préciser le signe de cm(x) sur [0.5;5] en justifiant

Partie B point d'inflexion du coût total
question numéro 1 justifier que la fonction de coût total C est croissante sur l'intervalle [0,5;5]
question numéro 2 En remarquant que la dérivée seconde du coût total est la dérivée du coût marginal, c'est à dire C''(x)=cm'(x), justifier que le point A est un point d'inflexion de la courbe

Partie C coût moyen
question numéro 1 : exprimer CM(x) en fonction de x
question numéro 2 : démontrer que le coût moyen est décroissant sur l'intervalle [0,5;5]


voila ou j'en suis actuellement je bloque à la partie A
C_m(x) = C'(x) = 2+(1.e^{-x+2}+x.e^{-x+2}.(-1)°+0

C'(x)=e^-x+2(1-x)+2 ( on met e^-x+2 en facteur commum )

la dérivée de cm'(x)
= (-x+2e^-x+2 *1-x)+ (-1*e^-x+2)
e^-x+2((-x+2+-1(1-x))

je ne suis malheureusement pas du tout sur de mes résultats notamment concernant le deuxième calcul

Merci d'avance pour le temps consacré à la lecture de mon post

[ampholyte]

Bonjour,

La dérivée de (uv)' = u'v + uv'

La dérivée de exp(u) est u' exp(u).

Tu devrais pouvoir réussir pour la partie A avec ces indications.

Question 2, c'est une application directe du cours.
Tu recherches d'abord pour quelles valeurs de x cm'(x) = 0 et tu étudies le signe (cm'(x) > 0 et cm'(x) < 0)

PS : essaye d'utiliser les balises TEX, car c'est légèrement illisible à cause d'un manque de parenthèse sur la fonction exponentielle.

[m.sousa]

bonjour merci de votre aide en effet pour la question 2 je pense avoir bien avancé je vous fais part de ma recherche
pour étudier le signe de cm'(x) on ne se préocupe pas de e^x-2 car il s'agit d'une fonction exponentielle donc toujours positive pour déterminer son signe on se concentre sur le premier terme (x-2) x-2=0 pour x=2
n dressant le tableau de variation on peut dire que cm'(x) est négative sur [0.5;2[ et positve sur [2:5]
pour f(0.5)on troue 4.240 f(2)=1 et f(5)=1.8008 cm décroissante sur l'intervalle [0.5;2[et croissante sur [2;5]

question numéro 3
préciser le signe de cm(x) sur l'intervalle [0,5;5]
cm(x) =e^-x+2 (1-x)+2 donc même cas on sé préocupe détudier le signe de (1-x)+2
3-x=0 ; x=3 cm(x) positif sur l'intervalle [0,3[ négatif sur [3;5]

pour revenir a la question numéro A
u=e^-x+2 donc u'=-1*e^-x+2 et v=(1-x) donc v' =-1
en faisant cela je ne trouve pas tout à fait le même résultat mais e^-x+2(x-1)+2 je retombe sur Cm(x)

[m.sousa]

pouvez vous m'expliquer s'il vous plait je n'arrive jamais à tomber sur le bon résultat

[m.sousa]

j'ai réussi a trouver le bon résultat maintenant je bloque à la partie B ou il faut démontrer que la fonction cout total est toujours croissante sur cet intervalle quand on applique la formule de la dérivée je trouve qu'elle est d'abord décroissante puis croissante ( en haut du post)