Trouver intervalle stable avec ]4;+inf[

[Yozamu]

Bonjour à tous.

Dans un exo je dois trouver les valeurs possibles de u0.
Donc je dois étudier tous les cas possibles.
On a un seul point fixe, 4.
f(x)=sqrt(3x+4)

Donc sur [-4/3;4[ on a I=[-1;4] intervalle stable par f car f(I)=[1;4]

Mais pour le cas suivant, si u0 appartient à ]4;+inf[, je ne sais pas comment trouver un intervalle stable. J'ai entendu dire qu'on pouvait prendre a comme borne supérieure, mais le truc c'est que je vois pas à quoi ça sert, comment on le justifie, et comment on l'utilise après...

Merci d'avance

[Doraki]

je comprends pas en quoi chercher un intervalle stable t'aide à trouver les valeurs possibles de u0, quoi que cela veuille dire. Je ne comprends pas non plus ce que tu veux dire dans "étudier tous les cas possibles". Etudier quoi ? De quels cas tu parles ?

[Yozamu]

L'exercice est "Soit f:x->sqrt(3x+4) et u la suite définie par:
u0 appartient à Df
Un+1=f(Un)
1) Etudier brièvement f ainsi que le signe de f(x)-x et faire la représentation graphique.
2) Etudier alors, en discutant suivant la valeur de u0, les variations et la convergence de u.

On a trouvé le point fixe comme étant 4. Donc sur [-4/3;4[ on a I=[-1;4] intervalle stable par f car f(I)=[1;4] on trouve finalement u croissante et convergente vers 4.
Si u0=4 alors la suite u est constante et u=4

Et donc dernier cas, si u0 appartient a ]4,+inf[, je ne sais pas comment faire là.

[Doraki]

Je ne vois pas où est-ce que l'énoncé demande de trouver des intervalles stables, tu n'as toujours pas motivé ce que tu voulais faire avec.

"sur [-4/3;4[ on a I=[-1;4] intervalle stable "
Pourquoi tu as choisi I = [-1;4] plutôt que I = [-7/6 ; 4] ou que I = [-2;7] ? A quoi ça te sert de dire qu'il existe un intervalle qui est stable ? quel est le rapport avec "sur [-4/3 ; 4]" ?

Comment as-tu montré que dans le cas u0 < 4, que la suite (un) était alors croissante et qu'elle convergeait vers 4 ?

[Yozamu]

Je n'ai pas fait l'exercice, je l'ai simplement recopié(je ne sais pas s'il est juste en réalité).

Pour l'intervalle la borne supérieure choisie est le point fixe, et la borne inférieure, je n'ai aucune idée de comment elle a été choisie.

Pour montrer que dans le cas de u0<4 un est croissante et convergente vers 4, j'ai dit: I=[-1;4[ intervalle stable par f car f(I)=[1;4] inclus dans I et u0 appartient à I.
Donc u est bien définie sur N et à valeurs dans I. (1)
f est croissante sur I donc u est monotone.
De plus u1-u0=f(u0)-u0>0 donc u est croissante.
D'après (1), u majorée par 4, donc on a:
u croissante et majorée par 4 donc u est convergente vers l appartennant à I.
Or f est coninue en l, donc f(un) converge vers f(l).
Un converge de même vers l, donc on a f(l)=l. Le seul point fixe de I est 4, d'où l=4.

Voilà. Je ne suis donc pas l'auteur, je n'ai pas assez compris la leçon pour écrire ça...