Ab=a+b arithmétique

[gregmaths]

Bonjour,

J'ai un petit problème avec de l'arithmétique, si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait sympa.

" Déterminer l'ensemble des couples (a;b) d'entiers relatifs tels que ab=a+b "

Merci

[hammana]

Bonjour,

J'ai un petit problème avec de l'arithmétique, si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait sympa.

" Déterminer l'ensemble des couples (a;b) d'entiers relatifs tels que ab=a+b "

Merci

si on pose a+b=s et ab=p, a et b sont les racines de x²-sx+p=0
Dans ton cas s=p, tu peux continuer?

[hammana]

Bonjour,

J'ai un petit problème avec de l'arithmétique, si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait sympa.

" Déterminer l'ensemble des couples (a;b) d'entiers relatifs tels que ab=a+b "

Merci

Supposons a et b >0 et a>=b.
ab=a+b ou a(b-1)=b. il faut exclure b=0 (qui conduit, à la solution banale a=b=0)
il faut exclure b=1 qui cobduirait à 0=1
il faut exclure b>2 qui conduirait à a<b. Conclusion ?
Reste à montrer qu'il n'ya pas de solution si on suppose b<0

[gregmaths]

Supposons a et b >0 et a>=b.
ab=a+b ou a(b-1)=b. il faut exclure b=0 (qui conduit, à la solution banale a=b=0)
il faut exclure b=1 qui cobduirait à 0=1
il faut exclure b>2 qui conduirait à a<b. Conclusion ?
Reste à montrer qu'il n'ya pas de solution si on suppose b<0

J'ai peut-être trouvé encore plus simple, qu'en penses-tu ?

ab= a+b
a(b-1)=b

a=b si et seulement si (b-1)=1
b=2
Alors a=2

Le seul couple d'entier relatif est donc (2;2)

[hammana]

J'ai peut-être trouvé encore plus simple, qu'en penses-tu ?

ab= a+b
a(b-1)=b

a=b si et seulement si (b-1)=1
b=2
Alors a=2

Le seul couple d'entier relatif est donc (2;2)

La condition a=b n'est pas imposée dans l'énoncé, qui exige seulement que ab=a+b. Elle en est laconséquence, et il faut le démontrer.

[leon1789]

Bonjour,

J'ai un petit problème avec de l'arithmétique, si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait sympa.

" Déterminer l'ensemble des couples (a;b) d'entiers relatifs tels que ab=a+b "

Merci

Le problème se réécrit a(b-1) = b
donc (b-1) divise b, donc (b-1) divise b-(b-1), c'est-à-dire (b-1) divise 1
d'où (b-1)=1 ou (b-1)=-1,
etc.

[Nightmare]

Hello,

dernière approche :

ab=a+b <=> (a-1)(b-1)=1 <=> a-1=b-1=1 <=> a=b=2

:happy3:

[leon1789]

ab=a+b (a-1)(b-1)=1

effectivement, rusé !

ensuite, comme a et b sont entiers positifs ou négatifs :
(a-1)(b-1)=1 a-1=b-1= ...