Sommet parabole avec axe incliné

[JeanJ]

Bonjour
J'ai seulement vérifié que je trouve bien sur -47/25 en remplaçant A par 1 et B par 4/3.
Mais des tests au tableur donnent les mêmes résultats.
Mon dénominateur se simplie facilement ( le 4B²D et le -4DB² s'annullent).
Ca donne 8A(A²+B²)²(BC-AD) qui se rapproche encore plus de ton dénominateur

Ha oui, c'est évident !
De plus, ta formule se simplifie par 2A. Ensuite en développant les numérateurs de chacunes de nos formules, on voit qu'ils sont identiques.
Donc, nous sommes d'accord.

[chan79]

Je viens de faire plusieurs tests numériques avec diverses valeurs des paramètres. Je trouve que ta formule pour calculer l'absisse et la mienne donnent des résultats numériques concordants. Ceci laisse à penser qu"il ni a pas d'erreur et qu'il y a probablement moyen de transformer nos formules pour arriver à la même.
Pour l'ordonnée, je n'ai pas pu comparer car tu n'as pas encore publié ta formule.
@+ et bien cordialement

Finalement, on a bien la même chose pour l'abscisse


et pour l'ordonnée

Remarque: si AD-BC=0, on n'a pas une parabole (ensemble vide ou 2 droites ou 1 droite)
:zen:

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je n'arrive pas à déterminer les équations des tangentes verticales et horizontales de cette parabole.
Le coefficient directeur devrait être le rapport des dérivées partielles, mais ça n'a pas l'air de marcher.
Merci d'avance.

[chan79]

Bonjour,
Je n'arrive pas à déterminer les équations des tangentes verticales et horizontales de cette parabole.
Le coefficient directeur devrait être le rapport des dérivées partielles, mais ça n'a pas l'air de marcher.
Merci d'avance.

Slt
L'équation de la tangente horizontale est de la forme y= cste
Tu considères l'équation de la parabole comme une équation du second degré en x avec y comme paramètre.
Tu écris que le discriminant est nul (puisque la tangente coupe la parabole en un seul point) et ça te donne l'équation cherchée.
Même chose pour la tangente verticale

[Dlzlogic]

Bonjour,
J'ai 3 bouquins ouverts en face de moi, des papiers noirs de calculs, mais je suis un peu rouillé.
Voila mon raisonnement. La parabole est une fonction qui a des tas de propriétés intéressantes, l'une que j'utilise souvent est : soit on arc de parabole AB, de sommet de tangentes T, M le milieu de AB, alors C, milieu de MT, appartient à l'arc de parabole. les sommets de tangente de AC et CB sont le milieux de AT et TB.
Si on s'intéresse à la directrice et au foyer, il y a d'autre propriétés intéressantes, par exemple F le foyer, (D) la directrice, M un point de la parabole, H sa projection sur (D), alors la tangente en M est médiatrice de FH.
Tout ceci pour dire que toutes les propriétés se ramènent à des cas de géométrie très simple (milieu, médiatrice).

Je crois (conjecture serait mieux) que l'intersection des tangentes verticales et horizontales appartient à la directrice. C'est ce que j'essaye de démontrer.

Donc mon but est de trouver le résultat cherché, le sommet S, en passant par un raisonnement géométrique et pas par un calcul analytique. Il me semble qu'ainsi on obtiendrait une formulation comportant probablement des étapes intermédiaires, qui éviterait d'avoir un résultat dans lequel ont fait des soustraction de grands nombres, ce qui est catastrophique pour la précision.

J'en suis encore à l'étape suivante :
La tangente horizontale vérifie la condition ax + by + d = 0
La tangente verticale vérifie la condition bx + cy + e = 0
pour la parabole définie par JeanJ : ax² + 2bxy + cy² +2dx + 2ey + f = 0

[chan79]

Bonjour,
J'ai 3 bouquins ouverts en face de moi, des papiers noirs de calculs, mais je suis un peu rouillé.
Voila mon raisonnement. La parabole est une fonction qui a des tas de propriétés intéressantes, l'une que j'utilise souvent est : soit on arc de parabole AB, de sommet de tangentes T, M le milieu de AB, alors C, milieu de MT, appartient à l'arc de parabole. les sommets de tangente de AC et CB sont le milieux de AT et TB.
Si on s'intéresse à la directrice et au foyer, il y a d'autre propriétés intéressantes, par exemple F le foyer, (D) la directrice, M un point de la parabole, H sa projection sur (D), alors la tangente en M est médiatrice de FH.
Tout ceci pour dire que toutes les propriétés se ramènent à des cas de géométrie très simple (milieu, médiatrice).

Je crois (conjecture serait mieux) que l'intersection des tangentes verticales et horizontales appartient à la directrice. C'est ce que j'essaye de démontrer.

Donc mon but est de trouver le résultat cherché, le sommet S, en passant par un raisonnement géométrique et pas par un calcul analytique. Il me semble qu'ainsi on obtiendrait une formulation comportant probablement des étapes intermédiaires, qui éviterait d'avoir un résultat dans lequel ont fait des soustraction de grands nombres, ce qui est catastrophique pour la précision.

J'en suis encore à l'étape suivante :
La tangente horizontale vérifie la condition ax + by + d = 0
La tangente verticale vérifie la condition bx + cy + e = 0
pour la parabole définie par JeanJ : ax² + 2bxy + cy² +2dx + 2ey + f = 0

Bonjour Dlzlogic
Effectivement, la courbe orthoptique d'une parabole est sa directrice.
La courbe orthoptique d'une courbe est le lieu des points d'où on peut mener deux tangentes à cette courbe, perpendiculaires entre elles. Le point d'intersection des tangentes (horizontale et verticale) fait partie de ce lieu.
Bien-sûr,tu peux essayer de le démontrer. Autant prendre une équation réduite ou une définition par foyer-directrice.
Ta remarque permet de déterminer rapidement l'équation de la directrice et les coordonnées du foyer pour la parabole proposée par l'auteur de ce post.

[chan79]

[img][IMG]http://img163.imageshack.us/img163/3218/10377821.png[/img][/IMG]
Un bout de démo (partielle)
Une parabole est définie par son foyer et sa directrice (en rouge). Le foyer est F2
Soit un point A de cette directrice. Pour tracer les tangentes, on trace le cercle de centre A qui passe par le foyer. Il coupe la directrice en E et F. Les tangentes sont les médiatrices de [F2E] et [F2F]
EFF2 étant rectangle en F2 (inscrit dans un demi-cercle), le quadrilatère AGF2I est un rectangle et les tangentes sont perpendiculaires.

[Dlzlogic]

Oui, j'ai fait à peu près le même dessin.
En fait, si on arrive à calculer les tangentes verticales et horizontales avec une expression simple, les coordonnées de A sont évidentes, connaissant le coef directeur de la directrice, le rectangle AOFI est connu. Toute la question est de savoir si on peut obtenir les coordonnées de S sans avoir des différence de puissances élevées.
Mais pour l'instant, je cale dans les calculs des 2 tangentes.

[chan79]

Oui, j'ai fait à peu près le même dessin.
En fait, si on arrive à calculer les tangentes verticales et horizontales avec une expression simple, les coordonnées de A sont évidentes, connaissant le coef directeur de la directrice, le rectangle AOFI est connu. Toute la question est de savoir si on peut obtenir les coordonnées de S sans avoir des différence de puissances élevées.
Mais pour l'instant, je cale dans les calculs des 2 tangentes.

La parabole proposée par JeanJ est de la forme
(Ax+By)²+Cx+Dy+1=0 (avec A=1, B=4/3, C=22/9 et D=46/9)
Pour la tangente horizontale:
on considère l'équation de cette parabole comme une équation de variable x
A²x²+x(2ABy+C)+B²y²+Dy+1=0
L'équation de la tangente horizontale est obtenue en écrivant que le discriminant est nul:
(2ABy+C)²=4A²(B²y²+Dy+1)
4A²B²y²+C²+4ABCy=4A²B²y²+4A²Dy+4A²
y(4ABC-4A²D)=4A²-C²
y=

[chan79]

La parabole proposée par JeanJ est de la forme
(Ax+By)²+Cx+Dy+1=0 (avec A=1, B=4/3, C=22/9 et D=46/9)
Pour la tangente horizontale:
on considère l'équation de cette parabole comme une équation de variable x
A²x²+x(2ABy+C)+B²y²+Dy+1=0
L'équation de la tangente horizontale est obtenue en écrivant que le discriminant est nul:
(2ABy+C)²=4A²(B²y²+Dy+1)
4A²B²y²+C²+4ABCy=4A²B²y²+4A²Dy+4A²
y(4ABC-4A²D)=4A²-C²
y=

[img][IMG]http://img805.imageshack.us/img805/5700/78272207.png[/img][/IMG]
On peut démontrer que si d'un point, on peut tracer deux tangentes à une parabole, perpendiculaires entre elles, alors ce point est situé sur la directrice:
Soit C ce point. Les tangentes sont (CT1) et (CT2)
On sait que le symétrique du foyer par rapport à une tangente est sur la directrice.
Donc la directrice est (F'F'')
Compte tenu des trois angles droits existants, FF'F'' est rectangle en F.
Ses médiatrices se coupent en C qui est donc le milieu de (F'F''). Ainsi, C est un point de la directrice.
En particulier, le point d'intersection de la tangente horizontale et de la tangente verticale est bien situé sur la directrice de la parabole.

[utwa]

Bonjour,

Le problème posé se résoud assez facilement en utilisant des méthodes algébriques. Mais comme il est demandé d'utiliser du calcul différentiel... et que arnica-mimosa dispose d'un logiciel pour faire les calculs voici une façon de procéder, valable pour toutes les coniques (tout en étant légèrement plus facile à mettre en oeuvre pour une parabole).

(1) On commence par choisir un point sur la courbe. Tant qu'à faire, on le prend avec des coordonnées simples, par exemple

(2) On écrit la droite de pente passant par . Elle recoupe la courbe en un autre point soit . Cela nous donne une représentation paramétrique de la courbe.

(3) On est en un sommet lorsque la courbure est extrémale. On sort de sa mémoire (ou d'un bouquin, ou de Wikipedia) la formule de la courbure en paramétriques. Pour ne pas trainer de radicaux, il suffit de calculer .

(4) On remplace par leurs valeurs, on lance les calculs... et on constate que le numérateur de la formule de se factorise en quelque chose de très simple, et de meme pour le dénominateur de . Un exercice intéressant est de démontrer cette propriété par des méthodes algébriques...

(5) Pour trouver le maximum de , on dérive et on factorise. Et à nouveau le résultat est tout simple. Question: pourquoi trouve-t-on deux valeurs pour annuler le tout dernier numérateur ?

(6) Question que se passe-t-il pour une ellipse ? Pour une hyperbole ?

Cordialement.