Trouver le sommet d'un cone connaissant des points

[snowlery]

Bonjour,

Je cherche une méthode pour trouver le sommet d'un cône, à partir d'un nuage de points situés sur ses flancs.

Par exemple, si l'on a la fonction représentée sur la figure ci-dessous, qui est une fonction bruitée, il faut pouvoir trouver le plus précisément possible le point rouge à partir de l'ensemble des points violets.



S'il existe une méthode "exacte" de résolution, alors elle devrait pouvoir trouver (sauf erreur de ma part) le sommet à partir d'au moins (d + 1) points choisis parmi l'ensemble des points violets, avec d la dimension de l'espace.

S'il existe une méthode "statistique", ou d'approximation, alors la précision sur la position du sommet devrait croître à mesure que le nombre de points violets augmente. L'avantage d'une méthode "statistique" est qu'elle pourrait fonctionner malgré la présence de bruit (sur les valeurs retournées par f).

S'il-vous-plaît, pourriez-vous m'indiquer une méthode (exacte ou approchée) qui puisse résoudre ce problème ?

Amicalement,
Snowlery.

[Ericovitchi]

Tu peux toujours écrire l'équation d'un cône générique genre z-a=k(x²+y²) et dire que les points sont dessus

[mathelot]

Tu peux toujours écrire l'équation d'un cône générique genre z-a=k(x²+y²) et dire que les points sont dessus

Bien joué Ericovitchi. Et eventuellement, essayer une méthode
des moindres carrés pour obtenir les paramètres manquants.

[snowlery]

Merci pour vos réponses rapides.

En fait, utiliser une résolution "exacte", en résolvant par exemple un systèmes d'équations du genre , avec les points du nuage, et le sommet recherché, ne marchera pas dans mon cas.

Maintenant que j'y pense, il n'existe pas de méthode "exacte" pour résoudre mon problème, car les valeurs des points du nuage sont bruitées (je n'ai pas pensé à le préciser).

On pourrait donc voir le problème comme un problème de recalage d'un "cône générique" sur le "cône théorique" dont est issu le nuage de points, de manière à minimiser l'erreur sur la position de ce "cône générique"...

Voyez-vous une méthode qui puisse fonctionner malgré cela ?

En vous remerciant,
Snowlery.

[snowlery]

Bonsoir, et merci beaucoup pour ta réponse rapide :)

Non, je n'ai pas le contrôle, ce sont des points positionnés aléatoirement (mais en restant quand même sur les flancs du cône). Si bien qu'effectivement, si les points sont très peu dispersés, ou s'ils sont placés "colinéairement" et "d'un seul coté" du cône, il risque d'être impossible d'en situer le sommet.

Je suppose qu'il faut au minimum que l'ensemble des points du nuage puisse former une base de l'espace dans lequel se trouve le cône, soit au moins (d + 1) points, avec d la dimension.

D'un autre côté, je dispose normalement d'un grand nombre de ces points, donc la probabilité de se trouver dans un cas impossible à résoudre, ou de manière très imprécise, est réduite.

Par contre, rien ne garantit que les points soit répartis "uniformément" autour du sommet du cône. Ils peuvent très bien tous se trouver "d'un seul côté" du cône (si bien qu'une résolution à base de barycentre ne peut pas marcher).

Encore merci pour vos réponses, j'espère que nous pourrons trouver une solution à ce problème, qui effectivement est délicat.

Amicalement,
Snowlery.

[mathelot]

Bs,

Il semble que statistiquement, l'équibarycentre du nuage
appartienne à l'axe du cône

1) on partitionne le nuage en deux populations.
on obtient deux barycentres, donc un axe de symétrie
(par deux points, il passe une droite)

2) l'équation d'un cône selon cet axe est semble-t-il de la forme



les coordonnées sont celles des points du nuage.

comme le membre de gauche de l'égalité est "idéalement" nul,
on cherche à minimiser la somme de carrés



on écrit que la différentielle en est nulle :doh:

[snowlery]

Bonjour,

Merci beaucoup pour ta réponse, mathelot :we:

Cette solution marche en effet si les points sont suffisamment dispersés tout autour du cône. Mais il arrive fréquemment que le nuage ne se trouve que d'un côté (sur une portion du cône correspondant à un balayage d'un angle inférieur à 180° autour de l'axe de symétrie), comme illustré sur la figure ci-dessous.



Dans ces cas-là, une solution à base de barycentre ne fonctionnera pas, car le barycentre ne passera pas par l'axe de symétrie du cône. Il faudrait pouvoir extrapoler la position du sommet d'une autre manière...

Encore merci pour vos réponses !
Toute idée est la bienvenue.

Amicalement,
Snowlery :we: