Suite d'intégrale ..

[kemepe]

Bonjour tout le monde , j'ai des problème pour des intégrale de suite , et on doit faire un exercice dessus et j'ai besoin d'aide, merci de vos réponse :


Soit (In) la suite définie , pour tout entier n , par :

In=intégrale de x(lnx)^n dx de 1 à e si n>1
et I0=intégrale de x dx de 1 à e

1) calculer I0, puis I1


I0=(e2-1)/2

I1=(e2+1)/4

Sa j'en suis sur

2)Démontrer que pour tout n In0
Je vois pas comment faire...

3) En étudiant le signe de In+1 - In, démontrer que la suite In est décroissante.

Je vois pas comment faire

4) Au moyen d'une intégration par parties , établir la relation pour tout entier n1 : 2In + n In-1= e²

j'ai réussi

5)a) En déduire l'encadrement pour tout entier n1 :

(e2)/(n+3)In(e2)/(n+2)
je vois pas

b) Déterminer alors lim In(qd n+) et lim nIn(qd n+)
théoreme des gendarme

c) Donner un entier p tel que Ip soit inférieur à 10-2.
je vois pas comment faire

Merci de votre aide

[titine]

2)Démontrer que pour tout n In0

??????????
Quelle est la question ?

[titine]

3) En étudiant le signe de In+1 - In, démontrer que la suite In est décroissante.

I(n+1) - I(n) = intégrale (de 1 à e) de x (lnx)^n (lnx-1)
Or , sur [1;e] :
x est positif,
(lnx)^n est positif,
lnx-1 est négatif,
donc : x ln(x)^n (lnx-1) est négatif.
Par conséquent : intégrale (de 1 à e) de x ln(x)^n (lnx-1) < 0
Donc I(n+1) < I(n)
Suite décroissante.

[titine]

4) Au moyen d'une intégration par parties , établir la relation pour tout entier n1 : 2In + n In-1= e²

j'ai réussi

Qu'as tu trouvé ?

[kemepe]

Merci pour la 3 , pour la 2 j'ai trouvé et la 4 j'ai tout simplement posé:
u(x) = (lnx)n u '(x) = n(lnx)n-1(1/x)
v '(x) = x v(x) = x²/2
puis Intégration par parties

mais j'arrive pas pour la 5...

[titine]

Je ne comprends pas :

(e2)/(n+3)In(e2)/(n+2)

Est ce :
e² < (n+3) In e² < n+2 ?

[kemepe]

Je ne comprends pas :

Est ce :
e² < (n+3) In e² < n+2 ?

Désolé c'est e²/(n+3)< In< e²/ (n+2)