Aide devoir etude de fonctions

[Nicolas_75]

Je reformule mon indice pour B.1.d.

Tu as montré : pour tout z, g(z)=0 => g(z/2) = 0 (*). Laissons cela de côté un instant.
On suppose que g(x0)=0. On te demande maintenant de montrer par récurrence que, pour tout n entier naturel, g(x0/2^n)=0.
La propriété sur laquelle porte la récurrence est donc P(n) : "g(x0/2^n)=0"
Initialisation : montre que P(0) est vraie
Hérédité : montre que si P(n) est vraie, alors P(n+1) est vraie. Tu seras amené à utiliser la relation (*)

[Kameron]

Exemple de raisonnement par récurrence:

On a sigma des k de 0 à n= (n(n+1))/2 (1)
On procède ainsi:

on vérifie la propriété pour un x0, par exemple k=0:
0x(0+1)/2=0 vérifié
On admet la propriété pour n.
On démontre que la propriété est vraie pour n+1:
sigma k=0 à n+1 = sigma k=0 à n + (n+1)
=( n(n+1))/2 + n+1 = (n(n+1)+2(n+1))/2 = ((n+1)(n+2))/2
Propriété vérifié pour n+1
(1) vérifié.

Voila si ceci est bien un raisonnement par récurrence. Je ne vois simplement pas comment l'appliquer dans ma question :/

[Nicolas_75]

Malgré ma reformulation de l'indice deux messages plus haut ?!

[Kameron]

AMQ g(xo/2^n)=0 (2)

Pour n=0 on a g(xo/2^0)=g(xo)=0 (Par hypothèse)

On admet (2) vraie pour n.

P (n+1) : g(xo/2^(n+1)= ? tu me dis de utiliser (*), mais je ne vois pas comment :cry:

[Nicolas_75]

Mes maigres qualités pédagogiques trouvent ici leur limite...

B.1.d.

On sait que : pour tout z, g(z)=0 => g(z/2) = 0 (*).

On suppose que g(x0)=0. Montrons par récurrence que la propriété P(n) : "g(x0/2^n)=0" est vraie pour tout n entier naturel.

P(0) : g(x0)=0 est vraie.

Supposons P(n) vraie, c'est-à-dire g(x0/2^n)=0
On applique (*) avec z=x0/2^n [EDIT], et on obtient : g((x0/2^n)/2)=0,
c'est-à-dire : g(x0/2^(n+1))=0, qui n'est rien d'autre que P(n+1).

Donc, par récurrence, la propriété P(n) est vraie pour tout n.

C'est-à-dire :
si g(x0)=0, alors, pour tout n entier naturel, g(x0/2^n)=0

[Kameron]

Le forum était inaccessible pendant un moment :/ problème d'ISP peut être...

B1d) J'ai très bien compris ta démonstration par récurrence. Cependant, je ne comprends pas comment tu passe de g(z).g(0)= (g(z/2))^4 à g(z)=0. Car g(0) n'est pas forcément 0, non?
Cependant, admettons que je me trompe (ce qui est de toute facon le plus probable) et que l'on a g(z)=0
Pour prouver ensuite que g est la fonction nulle, il suffirait de faire:
g(0)=((g(z/2))^4)/g(z)=0 donc g est la fonction nulle (Cf 1c)


B2B) ln[g(x+y)g(x-y)] = ln(g(x).g(y))²
ln(g(x+y)) + ln(g(x-y)) = 2ln(g(x).g(y))
ln(g(x+y)) + ln(g(x-y)) = 2ln(g(x)) + 2ln(g(y))
Or h(x) = ln(g(x))
D'où h(x+y)+h(x-y) = 2h(x) + 2h(y)
h(x+y)+h(x-y) = 2(h(x)+h(y))
Tu ne m'as pas dis si c'était correct

B2c) C'est fait quelques posts avant.

B2d) h(1)= a h(2)= 4a h(3)= 9a

h(n+1) = 2h(n) - h(n-1) + 2a (**)

Essayons pour n=2
h(3)=2h(2) - h(1) + 2a
h(3)= 2x4a - a + 2a = 9a => vérifié pour n=2

Admettons h(n)=an² pour tout n entier naturel.

Démontrons pour n+1
h(n+1) = 2h(n) - h(n-1) + 2a
= 2an² - a(n-1)² + 2a
= 2an² - an² + 2an + a + 2a
= an² + 2an + a = a(n+1)²

Donc par récurrence, la propriété est vraie, on a bien, pour tout n, h(n)=an².

=> Je suppose que la rédaction est pas parfaite je te laisse me faire des remarques

B2e) => Besoin d'aide :/

[Nicolas_75]

B.1.d.

J'ai très bien compris ta démonstration par récurrence. Cependant, je ne comprends pas comment tu passe de g(z).g(0)= (g(z/2))^4 à g(z)=0. Car g(0) n'est pas forcément 0, non?
Cependant, admettons que je me trompe (ce qui est de toute facon le plus probable) et que l'on a g(z)=0
Pour prouver ensuite que g est la fonction nulle, il suffirait de faire:
g(0)=((g(z/2))^4)/g(z)=0 donc g est la fonction nulle (Cf 1c)

Je ne comprends pas ce que tu dis. On ne passe pas de g(z/2)=0 à g(z)=0, mais on fait justement l'inverse !
Mon message est pourtant clair :

On sait que : pour tout z, g(z)=0 => g(z/2) = 0 (*).

Voici une rédaction possible pour toute la question B.1.d. Je ne le ferai pas pour les autres questions.

Soit g une fonction continue vérifiant (1).

1-- En prenant x=y=z/2 dans (1), on obtient :
pour tout z, g(z)g(0) = g(z/2)^2
Donc, pour tout z, si g(z)=0 alors g(z/2) = 0 (*)

2-- On suppose que g(x0)=0. Montrons par récurrence que la propriété P(n) : "g(x0/2^n)=0" est vraie pour tout n entier naturel.

P(0) : g(x0)=0 est vraie.

Supposons P(n) vraie, c'est-à-dire g(x0/2^n)=0
On applique (*) avec z=x0/2^n, et on obtient : g((x0/2^n)/2)=0,
c'est-à-dire : g(x0/2^(n+1))=0, qui n'est rien d'autre que P(n+1).

Donc, par récurrence, la propriété P(n) est vraie pour tout n.

C'est-à-dire :
si g(x0)=0, alors, pour tout n entier naturel, g(x0/2^n)=0

3-- On fait tendre n vers l'infini. Comme g est continue, on en déduit g(0)=0. Donc, d'après B.1.c, g est la fonction nulle.

Sauf erreur.

Nicolas

[Nicolas_75]

Pour les autres questions, ce que tu as écrit est globalement juste. Je te laisse assumer les détails et la rédaction. :-)

EDIT : n'oublie pas de démontrer (**)

[Kameron]

Ok je viens de comprendre cette question. :)

Maintenant que penses tu du reste?

[Kameron]

Ok je vais me débrouiller pour que ma rédac soit la plus claire possible :)
Par contre, pourrais tu m'aider pour les deux dernieres questions du devoir? parceque pour celles la je ne vois vraiment pas.

[Nicolas_75]

N'oublie pas qu'un devoir à la maison est fait pour être cherché, et qu'il n'y a aucune honte à ne pas tout trouver.

B.2.e. ... h(nx) ...
Pour tout n entier naturel ==> on pense immédiatement à une récurrence.
C'est comme pour les deux autres questions similaires d'avant (B.1.d., B.2.d.). Tu devrais avoir compris la méthode depuis le temps !
Dans la relation h(x+y)+h(x-y)=... prends x=nx et y=x (ce ne sont pas les mêmes x dans les membres de gauche et de droite bien sûr !)
Tu en déduis une relation (***).
Utilise cette relation (***) pour montrer par récurrence sur n ce qui est demandé.

B.2.e. En déduire h(1/p)
Je suis surpris que tu ne trouves pas. C'est une conclusion immédiate de la formule précédente, en prenant n=... et x=...

Nicolas

[Kameron]

J'ai un bon moment pour bosser dessus, dès que je trouve quelquechose je te le dis :)

[Kameron]

Je reste perplexe sur le en déduire pour g de la B2c.
Car si on prends x=0 et y quelconque dans (1) cela fait:
g(y).g(-y)=(g(0).g(y))² or g(0) peut prendre trois valeurs. On ne peut pas en déduire g(y)=g(-y)?


Pour la 2e je trouve une relation:
2 h(nx) = h(nx+x) + h(nx-x) - 2h(x)
mais je crois que je confond les x, je n'ai pas trop compris quelle diffèrence il y avait :/ car je trouve avec n=1 h(x)=h(0)/2=0 :/

[Kameron]

Bon je suis en train de m'énerver sur mes feuilles, je vais laisser tomber et rendre comme ceci c'est pas grave, même si j'aurais aimé trouver.

En tout cas merci beaucoup pour ton aide, pour quand tu repassera par la :) Je me demande bien si j'aurai pu trouvé tout ca tout seul. hehe.

A+ merci encore :)

[Nicolas_75]

B.2.c.

Je reste perplexe sur le en déduire pour g de la B2c.
Car si on prends x=0 et y quelconque dans (1) cela fait:
g(y).g(-y)=(g(0).g(y))² or g(0) peut prendre trois valeurs. On ne peut pas en déduire g(y)=g(-y)?/

On utilise x=0 et y quelconque dans la relation du B.2.b. pour montrer que h est paire.
Puis on utilise g=exp(h) pour montrer g est paire.

[Nicolas_75]

B.2.e première partie

pour la 2e je trouve une relation:
2 h(nx) = h(nx+x) + h(nx-x) - 2h(x)
mais je crois que je confond les x, je n'ai pas trop compris quelle diffèrence il y avait :/ car je trouve avec n=1 h(x)=h(0)/2=0 :/

Ta relation me semble bonne.
Elle s'écrit également :
h((n+1)x) = 2h(nx) + 2h(x) - h((n-1)x) (***)
à utiliser au cours de ta récurrence, comme pour les deux autres questions similaires.

[Nicolas_75]

Bon je suis en train de m'énerver sur mes feuilles, je vais laisser tomber et rendre comme ceci c'est pas grave, même si j'aurais aimé trouver.

Le problème, c'est que tu n'expliques pas clairement ce que tu cherches et où tu en es. Tu donnes donc l'impression qu'il faut tout faire à ta place. Je sais que ce n'est pas le cas, et que tu travailles sur cet exercice... mais tu ne le montres pas. Tu noircis tes feuilles... mais on ne sait pas quelles pistes tu essaies...

[Nicolas_75]

Je t'en prie. :-)