Dérivé n-ième

[arthur56000]

Soit f : R -> R une fonction admettant une déivée n-ième. On pose g(x)= xf(x)

1) Calculer g'(x), g''(x) et g'''(x).

Je trouve : g'(x)= xf'(x)+f(x)
g''(x) = xf''(x) + f'(x)
g'''(x)=xf'''(x) + 3f''(x)

2) Conjecturer la valeur de g^(n) (x)

Je trouve: g^(n)b(x) = xf^(n) (x) + nf^(n-1) (x)


3) Démontrer par récurrence le résultat précédent

Initialisation: P0 est vraie : g^(0) (x)= xf(x)
Hérédité: Supposons qu'il existe un entier n tel que Pn est vraie, et montrons qu'alors Pn+1 l'est aussi.
Par hypothèse de récurrence on a :
g^(n) (x)= xf^(n) (x) + nf^(n-1) (x)
g^(n+1) (x) = g^(n)' (x) = xf^(n)' + f^(n)+ nf^(n)

A partir de la je ne sais plus comment faire. Merci de votre aide.

[absolut-diabolik]

Soit f : R -> R une fonction admettant une déivée n-ième. On pose g(x)= xf(x)

1) Calculer g'(x), g''(x) et g'''(x).

Je trouve : g'(x)= xf'(x)+f(x)
g''(x) = xf''(x) + f'(x)
La dérivée seconde je ne suis pas d'accord g''(x)=xf''(x)+f'(x)+f'(x)=xf''(x)+2f'(x) (car xf'(x) dans la dérivée première est un produit)
g'''(x)=xf'''(x) + 3f''(x)
Mais la dérivée troisième est juste ... Par chance!

2) Conjecturer la valeur de g^(n) (x)

Je trouve: OK!

3) Démontrer par récurrence le résultat précédent

Initialisation: P0 est vraie : g^(0) (x)= xf(x)
Hérédité: Supposons qu'il existe un entier n tel que Pn est vraie, et montrons qu'alors Pn+1 l'est aussi.
Par hypothèse de récurrence on a :

Ben à partir de là tu as fini (en mettant f^n en facteur)

On a démontrer

[arthur56000]

Merci, j'avais juste mal recopier our ma deuxième dérivée.