Prepa ECS : dérivé n-ieme polynome et matrice

[Ok86]

Bonsoir je fais actuellement mon DM de maths depuis 9h ce matin et après avoir passé du tps sur certaines questions je bloque :
on me demande la dérivé n-ième de
1) P(X) = produit de i=1 à n de (X - ai)
merci !


2) j'ai AB = BA (deux matrices commutantes) <=> Tr((AB-BA)^4)= 0 avec Tr la trace

Comment a partir de Tr((AB-BA)^4)= 0 démontrer AB = BA ??

Merci encore !

[COTLOD]

Bonsoir,
Pour la première question le degré du polynome donne une idée sur sa dérivée n-ième.

Pour les matrices quelles sont leur dimensions ?

[yos]

Le 2 est faux en général.
Il me semble que A=1 & 0 \\ 0 &0 , B=0 & 1 \\ 0 & 0 est un contre-exemple.

[Ok86]

MAtrice de dimension 2 , euh

sinon pour la dérivée j'aurai dis n !

Raison on multiplie les termes et on va arriver a un résultat de la forme X^n + alphaX^(n_1) + etc + Beta

Avec alpha et beta simple rélle

Or quand on dérive n-fois tous vont disparaitre sauf X^n qui va laisser
(X^n) ' = nX^(n-1)
[nX^(n-1) ]' = n(n-1) X^(n-2)
etc
jusqu'a n !

Bon ?