DM : Résolution d'équations du troisième degré (Cardan)

par **Aeodnap** » 11 Déc 2011, 15:40

ACT. 4 p. 279 du livre Hyperbole 2002 pour Terminale S.

Bonjour,

J'ai à faire en DM cet exercice et je ne vois pas comment faire la 1) c). Je ne suis pas allé plus loin...
Pourriez vous me guider ?
Merci.

A

par **GagaMaths** » 11 Déc 2011, 19:13

jep ense que pr la c il faut remplacer dabns l'equation (E) les car u^3v^3=(uv)^3
donc tu peux en déduire uv, et remplacer après dans (E) !

par **geegee** » 12 Déc 2011, 07:20

Bonjour,

Si ax^2+bx+c=0 est l'équation de départ.

x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
http://serge.mehl.free.fr/anx/equ2.html

par **Aeodnap** » 12 Déc 2011, 21:34

Bonsoir,

j'ai trouvé la c) et la d) à l'aide de vos conseils.

C'est maintenant sur la e) que je bloque.
On a p = 18 et q = 35, mais comment calculer avec toutes ces racines ? (à part la calculette...)
Je ne crois pas que ça se simplifie...

Merci.

par **Ana_M** » 12 Déc 2011, 21:35

il faut laisser sous forme "irréductible"... !

par **Aeodnap** » 12 Déc 2011, 21:57

Ana_M a écrit:il faut laisser sous forme "irréductible"... !

C'est à dire ? Sous la forme avec toutes les racines ? Ou chercher à en retirer quelques unes ?

Sinon pour la c), après réflexion et tests, j'ai l'impression d'avoir trouvé quelque chose de faux.
J'étais parti de :
uv = (p^3)/27 = c/a
u+v = q = -b/a

J'ai imposé a = 1 pour simplifier les choses (l'erreur est peut être ici) et ai trouvé :
b = -q
c = (p^3)/27

d'où l'équation du second degré :

(x^2)-qx+(p^3)/27, qui est fausse, je pense.

Merci.

par **Aeodnap** » 13 Déc 2011, 17:48

(je reposte pour faire remonter le sujet, je dois rendre le DM demain :( )
Je suis bloqué à la question 1) c)

par **Ana_M** » 13 Déc 2011, 20:06

oui tu laisses sous la forme de racines

sinon pour la c) je ne vois pas torp ce que tu cherches à faire, il te suffit de remplacer le u^3+v^3 et le uv, que tu peux déduire de (uv)^3v!

par **Aeodnap** » 13 Déc 2011, 21:35

Ana_M a écrit:oui tu laisses sous la forme de racines

sinon pour la c) je ne vois pas torp ce que tu cherches à faire, il te suffit de remplacer le u^3+v^3 et le uv, que tu peux déduire de (uv)^3v!

Les remplacer dans quelle équation ?

par **Ana_M** » 13 Déc 2011, 21:38

dans (E) !

par **Aeodnap** » 14 Déc 2011, 18:57

Salut.
Je trouve l'équation du second degré suivante (X^2)-qX+(p^3)/27
Mais je ne vois pas comment passer de la c) à la d)...

par **Ana_M** » 14 Déc 2011, 19:09

je n'ai pas vérifié les calculs...
par contre pr la d) je pense qu'il suffit de remplacer dans (E) et de voir si ça fait 0... !

par **Aeodnap** » 19 Déc 2011, 12:34

Bonjour

Quelqu'un a-t-il une idée pour passer de la c) à la d) ?

par **Ana_M** » 19 Déc 2011, 12:41

pourquoi voudrais tu passer de la c à la d ?
dans la d on te donne un nombre, on te demande vérifier que c'est une racine de quelque chose.
donc tu vérifies que ça fait 0 quand tu remplaces. je ne vois pas ou est le pb

par **Aeodnap** » 19 Déc 2011, 19:04

Ana_M a écrit:pourquoi voudrais tu passer de la c à la d ?
dans la d on te donne un nombre, on te demande vérifier que c'est une racine de quelque chose.
donc tu vérifies que ça fait 0 quand tu remplaces. je ne vois pas ou est le pb

Bon en fait je n'arrive pas tellement à répondre à la c).
Voilà ma démarche :

c) On pose u^3 = X
On a le système :

X+v^3 = q
Xv^3 = (p^3)/27

Qui équivaut au système (en remplaçant (v^3) par (q - X)) :

v^3 = q - X
X(q-X) = (p^3)/27

Donc Xq - X² = (p^3/27)

On trouve donc l'équation du second degré (E') = X² - qX + (p^3)/27

Ceci nous permet de calculer u^3 car u^3 = X. Il suffit de faire delta, etc.
Mais pour v^3, comment procéder ?

Merci.

par **Ana_M** » 19 Déc 2011, 21:55

Mais non !
Ce qu'il faut savoir, c'est que quand on a deux nombres a et b telle que
a+b = un truc connu
ab = un truc connu (on connait leur somme et leur produit)
en fait a et b sont deux racines d'une équation du second degré !

alors on sait que ces nombres sont solutions de :
X² - (a+b)X + ab = 0 !

par **Aeodnap** » 28 Déc 2011, 16:41

Ana_M a écrit:Mais non !
Ce qu'il faut savoir, c'est que quand on a deux nombres a et b telle que
a+b = un truc connu
ab = un truc connu (on connait leur somme et leur produit)
en fait a et b sont deux racines d'une équation du second degré !

alors on sait que ces nombres sont solutions de :
X² - (a+b)X + ab = 0 !

D'accord, donc :

On pose x1 = u^3 et x2 = v^3
d'où S = q et P = ((p^3)/27)

On a donc le trinôme P(x) = (x^2) - qx + ((p^3)/27)

Faut-il s'arrêter là ou expliquer comment on peut ensuite calculer u^3 et v^3 avec delta ?

par **Ana_M** » 28 Déc 2011, 19:54

Non, on a bien un trinome du second degré ici.

par **Aeodnap** » 30 Déc 2011, 00:41

Ana_M a écrit:Non, on a bien un trinome du second degré ici.

D'accord. Merci de ton aide, j'ai réussi à finir le DM à partir de ça. J'ai calculé delta, trouvé les solutions, fait le 2), etc.
Merci !

par **Ana_M** » 30 Déc 2011, 11:25

Cool !!
A bientôt, si tu as d'autres problèmes !

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