Méthode Cardan. Eq 3eme degré

[Noyel]

Bonjour, serait-il possible que quelqu'un explique la méthode Cardan ? svp.

J'ai un exercice qui consiste à résoudre :
x^3+3x²+15x-99 = O (E)

Elles se ramène à une équation du type : X^3+pX+q

il faut apparemment déterminer les réels a, p et q. (a=1 ; p=12 ; q=-112).
Puis, poser X = x+a. L'eq devient X^3 +12X-112=0 (E1)

On résout ensuite E1 :
on pose X= u+v

et je bloque sur :

Montrer que s'il existe des réels u et v vérifiant le système (S) alors u+v est solution de l'équation E1

S { u^3 + v^3 = 112
{ u^3v^3= -64



Comment fait-on ?

[Sve@r]

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan

[Noyel]

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan

Merci, j'ai déjà regardé, mais je ne comprends pas... ><
Comment, à partir du système, on peut avoir u+v solution de l'eq ? E1

[mathelot]

Salut,

heureux de pouvoir te répondre car j'avais quelques questions perso à ce sujet !

pour la méthode:

i) on se ramène à
par une translation X=x+k

ii) on pose x=u+v
en développant selon le binome

iii)
et vérifient


d'où une équation du second degré vérifiée par et

de


dans le pire des cas , quand l'angle n'est pas trisectable à la règle et au compas par exemple
on obtient par cette méthode sous forme trigo (il faut bien extraire la racine cubique complexe )
d'où

je ne vois pas trop ce que la méthode apporte dans ce cas, à part situer les racines dans le plan complexe..
disons que trouver une expression rationnelle de l'argument de u en fonction des coordonnées de Y
est aussi difficle que de résoudre l'équation initiale

[Noyel]

Salut,

heureux de pouvoir te répondre car j'avais quelques questions perso à ce sujet !

pour la méthode:

i) on se ramène à
par une translation X=x+k

ii) on pose x=u+v
en développant selon le binome

iii)
et vérifient


d'où une équation du second degré vérifiée par et

de


dans le pire des cas , quand l'angle n'est pas trisectable à la règle et au compas par exemple
on obtient par cette méthode sous forme trigo (il faut bien extraire la racine cubique complexe )
d'où

je ne vois pas trop ce que la méthode apporte dans ce cas, à part situer les racines dans le plan complexe..

Je suis vraiment mais vraiment désolée, mais l'exercice est fait pour qu'on "découvre la méthode". Du coup, on ne sait rien du tout dessus. Et c'est un peu incompréhensible pour moi les quelques lignes que tu as mise...

Déja, je ne voit pas d'où sort le -p^3 / 27...
D"accord avec le II mais I et III ?