Résolution d'une équation du troisième degré

[Agathe07]

Bonjour !
Alors voilà j'ai un exercice a faire mais je ne comprend strictement rien ,pouvez-vous m'aider? :id:


L'objectif de cet exercice est d'appliquer cette méthode à la résolution de l'équation:
(E): x^3+3x^2+15x-99=0
1.
On se ramène à la résolution d'une équation du type :
Xp3 + pX + q = 0

a. Déterminer trois réels a, p et q tels que pour tout x, x² + 3x² + 15 - 99 = (x + a)^3 + p(x+a) + q

b.En posant X=x+a, vérifier que:
X^3 + 12X - 112 = 0

2. On résout l'équation (E1): X^2+12X-112=0 pour cela, on pose X=u+v.

a) Vérifier que (u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v).

b) En déduire que:
si X=u+v alors: X^3+12X-112=u^3+v^3+(3uv+12)(u+v)-112.
si u^3+v^3=112, alors u^3v^3=-64 équivaut à X=u+v est une solution de l'équation (E1).

c) Trouver deux nombres u et v tels que: u^3+v^3=112 et u^3v^3=-64.
[ on établira que 7+5racine carré de 2=(a+b racine carrée de 2)^3 et 7-5 racine carrée de 2= (a-b racine carée de 2)^3 ]

d) Résoudre alors l'équation (E1)

e) Résoudre alors l'équation (E).

Merci d'avance, et bon courage :++:

[yvelines78]

bonsoir,

x^3 + 3x² + 15x - 99 = (x + a)^3 + p(x+a) + q
on développe le 2ème membre et on identifie avec le 1er
(x + a)^3 + p(x+a) + q=x^3 + 3a²x + 3ax² + a^3 + px + ap + q
=x^3 + x²(3a) + x ( 3a² +p ) + ( a^3 + ap + q )
donc 3a=3 et a=1
donc 3a²+p=15 et p=15-3=12
donc a^3+ap+q=-99 et 1+12+q=-99, q=-99-13=-112
le plynôme=(x+1)^3 + 12(x+1) - 112
X=x+1
polynôme=X^3+12X-112

[yvelines78]

X^3+12X-112=0
(u+v)^3+12(u+v)-112=0

(u+v)^3=u^3+v^3+3u²v+3uv²=u^3+v^3+3uv(u+v)

X^3+12X-112=u^3+v^3+3uv(u+v)+12(u+v)-112=u^3+v^3+(u+v)(3uv+12)-112=0

si u^3+v^3=112, (u+v)(3uv+12)=0
u+v=0
et
3uv+12=0, 3uv=-12, uv=-4, u^3v^3=(-4)^3=-64

[yvelines78]

e plynôme=(x+1)^3 + 12(x+1) - 112
X=x+1
polynôme=X^3+12X-112
qu'est-ce que tu ne comprends pas?
on pose X=x+a, mais a=1, donc X=(x+1)

[Agathe07]

je comprend pas comment vous expliquez que X^3+12X-112=0 , je comprend pas votre démarche...

[yvelines78]

plynôme=(x+1)^3 + 12(x+1) - 112
x+a=X=x+1 avec a=1 (voir plus haut)
polynôme=X^3+12X-112

[Agathe07]

alors voila j'ai reussi a tout faire (grâce à votre aide) jusqu'à la question c) il me reste c'est 3 dernières questions, pouvez-vous m'aidez ?