Mesure de Lebesgue sur R

[Exquise Sensation]

Lors d'un exercice j'ai été amené à supposer l'implication suivante: (en notant l(A) la mesure de Lebesgue de l'ensemble A)

Soit A une partie quelconque de R: l(A)>0 => A contient un intervalle ouvert non vide.

En fait je sais que la mesure de Lebesgue d'une union dénombrable de singleton est nulle donc si l(A) est non nulle A contient au moins une union non dénombrable de singleton i.e au moins un intervalle ouvert non vide?

je ne suis pas sur de mon "i.e". Prouver qu'une union non dénombrable contient au moins un ouvert non vide de R revient à dire que non-dénombrable => en bijection avec R ?
ou que: impossibilité de mettre en bijection avec R => dénombrable.
Est ce vrai? si oui comment le demontrer? :mur:

[Nightmare]

Salut,

l'implication est fausse, il existe des ensembles de mesure strictement positive (quelconque...) et d'intérieur vide, regarde du côté des espaces de Cantor.

:happy3:

[Exquise Sensation]

Salut,

l'implication est fausse, il existe des ensembles de mesure strictement positive (quelconque...) et d'intérieur vide, regarde du côté des espaces de Cantor.

:happy3:

Arf en effet, mais quelle idée de créer des espaces aussi tordus aussi! ^

Alors comment démontrer que la mesure de lebesgue est diffuse sur R?

J'avais dit que si il existe A un atome de l, l(A)>0 et ensuite "affirmé" que il existe un ensemble B de la forme B=]x,x'[ x<x' puis j'avais coupé l'intervalle en 2 et j'avais ainsi une partition ou chaque morceau est de mesure non nulle..

Mon raisonnement n'est plus valable quelqu'un aurait une idée? = (

[Nightmare]

Quelle est ta définition de la mesure de Lebesgue? Car pour moi le fait qu'elle soit diffuse découle immédiatement de la définition, en particulier du fait que la mesure de Lebesgue d'un intervalle est sa longueur, et un singleton est un intervalle de longueur nulle.

[arnaud32]

Autre point de détails toute partie de R n'est pas forcément mesurable

[Arkhnor]

Bonsoir,

Pas besoin de construire un ensemble de Cantor pour ça, l'ensemble des irrationnels convient très bien.

[Nightmare]

Bonsoir,

Pas besoin de construire un ensemble de Cantor pour ça, l'ensemble des irrationnels convient très bien.

Je suis d'accord, cependant Exquise sensation voulait un ensemble de mesure finie.

:happy3:

Edit : Ah bah non, je divague...

[Arkhnor]

Effectivement, on prend l'intersection avec [0,1] dans ce cas. :lol2:

Par contre si on cherche des compacts, ça devient différent. On peut se rabattre sur les ensembles de Cantor, ou alors utiliser la régularité intérieure de la mesure de Lebesgue.

[Nightmare]

Effectivement, on prend l'intersection avec [0,1] dans ce cas.

Oui, aussi...

Je comprends pas pourquoi j'ai été cherché si loin (surtout qu'il m'a fallu un moment avant de me rappeler des Cantor "gras").

Bref, bien vu pour l'exemple simple.

:happy3:

[Exquise Sensation]

Quelle est ta définition de la mesure de Lebesgue? Car pour moi le fait qu'elle soit diffuse découle immédiatement de la définition, en particulier du fait que la mesure de Lebesgue d'un intervalle est sa longueur, et un singleton est un intervalle de longueur nulle.

Dans l'exo que je fais on me définit une mesure diffuse sur E comme une mesure n'admettant aucun atome sur R.
Et si l'ensemble des irrationnels est de mesure non nulle (ce que je ne comprends pas du tout ! =( ) je vois pas comment la mesure de lebesgue pourrait être diffuse puisque dans ce cas la mesure des irrationnels positifs est surement non nulle..

[Nightmare]

Je ne comprends pas ta notion de mesure diffuse. Un espace mesurable a toujours des atomes, s'il est séparé, c'est le cas de R, ses atomes sont les singletons.

Une mesure est dite diffuse si la mesure des atomes est nulle. C'est bien le cas pour R, tout les singletons sont bien de mesure de Lebesgue nulle.

Pour l'ensemble des irrationnels, es-tu d'accord déjà que l'ensemble des rationnels est lui de mesure nulle? Que R est de mesure infinie? Suffit alors de se dire ensuite que rationnels + irrationnels = R

[Exquise Sensation]

Je ne comprends pas ta notion de mesure diffuse. Un espace mesurable a toujours des atomes, s'il est séparé, c'est le cas de R, ses atomes sont les singletons.

Une mesure est dite diffuse si la mesure des atomes est nulle. C'est bien le cas pour R, tout les singletons sont bien de mesure de Lebesgue nulle.

Pour l'ensemble des irrationnels, es-tu d'accord déjà que l'ensemble des rationnels est lui de mesure nulle? Que R est de mesure infinie? Suffit alors de se dire ensuite que rationnels + irrationnels = R

Les définitions que j'ai eu sont:
des l-atomes sur R par exemple c'est une partie A de R qui vérifie l(A)>0 et pour tout BcA, l(B)=0 ou l(A/B)=0.


C'est pareil que toi sauf que ce qui pour pour est un espace mesurable "sans d'atomes" c'est pour toi un espace où tous les atomes de mesure nulle.

Et ça me paraissait évident avant qu'on me dise qu'il y a des parties de R d'intérieur vide(qui ne peuvent donc pas décemment contenir d'intervalle..) et de mesure de Lebesgue non nulle.