Mesure de Lebesgue

[SLA]

Je rajouterais que lorsque alors existe et est vide.

[barbu23]

Dans ce cas quand et .

D'accord, j'ai compris, donc, finalement : .
Et après, qu'est ce que je fais ?
Je dis que puisque : , alors : ... ? Comment je vais écrire en fonction des pavés ?
Merci d'avance.

Edit : J'ai pas fait de théorie de la mesure depuis longtemps, c'est pourquoi, je coince à la moindre action.

[SLA]

D'accord, j'ai compris, donc, finalement : .
Et après, qu'est ce que je fais ?
Je dis que puisque : , alors : ... ? Comment je vais écrire en fonction des pavés ?
Merci d'avance.

Si tu as compris, tu peux nous donner une belle démonstration, plutot que cette pirouette!
Ensuite, tout dépend de ce dont tu disposes: classe monotone, définition de la mesure sur les boréliens...

[barbu23]

Si
Donc :


Si , c'est évident.
Par contre, je en vois pas comment faire la suite, car ça fait longtemps que je ne touche pas à la théorie de la mesure, donc, je ne vois pas quel résultat il faut appliquer dans la suite.
Merci d'avance pour votre aide. :happy3:

[SLA]

Si
Donc :


Si , c'est évident.
Par contre, je en vois pas comment faire la suite, car ça fait longtemps que je ne touche pas à la théorie de la mesure, donc, je ne vois pas quel résultat il faut appliquer dans la suite.
Merci d'avance pour votre aide. :happy3:

Beaucoup d'erreurs... c'est quoi ? Tu donnes l'impression d'écrire plein d'expression en espérant qu'une d'elle soit la bonne et que ça passe...
Pour , peux-tu nous donner proprement ?
Soit ...

[Alasdair]

La démonstration pourrait être plus propre vu que tu joue avec des ensembles, quel est le sens de a+[x,y] ? Mais oui, dans les grandes lignes ça passe.

Pour la suite soit tu bricoles des encadrements de ton borélien avec des pavés (ce n'est pas facile et il risque d'y avoir des pièges cachés), soit tu te sers du fait que les boréliens sont engendrés par les pavés (ce qui est peut etre encore plus difficile sans le bon outil). Et pour la seconde possibilité (la plus profonde et élégante des deux) comme le dit SLA tu as le lemme de classe monotone qui peut t'aider...

Ne t'inquiète pas si tu trouves cette démonstration difficile, d'autant plus si ça fait un bail que tu n'as pas fait de théorie de la mesure. Il y a plein de choses assez profondes cachées là dedans.

[barbu23]

Si , alors :



Je ne connais pas le théorème des classes monotones.

Beaucoup d'erreurs... c'est quoi ? Tu donnes l'impression d'écrire plein d'expression en espérant qu'une d'elle soit la bonne et que ça passe...
Pour , peux-tu nous donner proprement ?
Soit ...

Si , alors, est bijective et décroissante et donc : , non ?

[SLA]

Si , alors :



Je ne connais pas le théorème des classes monotones.

Si , alors, est décroissante et donc : , non ?

Ton dernier résultat est vrai,mais c'est à la fois compliqué (appel à la décroissance) et incomplet (présence de pour une fonction continue ), tu oublies d'invoquer la continuité. Et surtout ça cache la vraie démonstration: que je te demande.
Pour déterminer , tu peux le faire tout simplement comme le ferai un élève de lycée:

Soit ...

[barbu23]

Soit , alors ,
cela équivaut à : ,
cela équivaut à : , cela équivaut à : cela équivaut à , cela équivaut à : cela équivaut à

[Alasdair]

Je ne connais pas le théorème des classes monotones.

Google est ton ami : http://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_de_classe_monotone . Mais si tu galères sur montrer que la formule est vraie sur les pavés, ça risque d’être compliqué pour la suite. C'est des exos que tu fais pour toi, pour t'entrainer, ou alors tu suis un cours ?

Pour le lemme de la classe monotone, tu peux t'en servir pour dire que si deux mesures coïncident sur un pi-système, alors elles coïncident sur la tribu engendrée par ce pi-système (ce qui est le résultat magique que l'on voulait). Comme l'ensemble des pavés constitue un pi-système il n'y plus qu'à appliquer tout ça sur les mesures et et le tour est joué.

[SLA]

Soit , alors ,
cela équivaut à : ,
cela équivaut à : , cela équivaut à : cela équivaut à , cela équivaut à : cela équivaut à

Oui \o/ \o/! C'est quand même plus simple que d'invoquer plein d'arguments, non?
Ensuite, l'argument de classe monotone fait le reste. Encore faut-il montrer qu'on a bien affaire à un pi-système.

[barbu23]

Pour le lemme de la classe monotone, tu peux t'en servir pour dire que si deux mesures coïncident sur un pi-système, alors elles coïncident sur la tribu engendrée par ce pi-système (ce qui est le résultat magique que l'on voulait). Comme l'ensemble des pavés constitue un pi-système il n'y plus qu'à appliquer tout ça sur les mesures et et le tour est joué.

Merci beaucoup à vous deux. :happy3:
De quoi il est formé le - système dans ce cas là ? des intervalles de la forme ? Autrement dit : est un - système ?
Merci d'avance. :happy3:

[Alasdair]

Merci beaucoup à vous deux. :happy3:
De quoi il est formé le - système dans ce cas là ? des intervalles de la forme ? Autrement dit : est un - système ?
Merci d'avance. :happy3:

Prend n'importe quel pi-système qui génère les boréliens (et de préférence un sur lequel tu as prouvé l'égalité des mesures). Du coup oui, celui là ça va. Tu as juste à prouver qu'il est stable par intersection, c'est à dire que l'intersection d'un de deux de tes intervalles est toujours un intervalle de ton ensemble.

[barbu23]

J'ai compris. :happy3:
Merci à vous deux pour tout ce temps là que vous m'avez accordé pour m'aider, c'est très gentil de votre part. :happy3:

[Alasdair]

Pas de quoi, amuse toi bien pour la suite (et réécris proprement la démonstration sur ton brouillon pour en assimiler les détails ;)).

[Ben314]

...Proprement, pas en demandant aux autres de le faire.

pourquoi, c'est pas "fait proprement" quand on demende aux autres ??? :lol3: