Résolution d'un système linéaire

par **Malo** » 22 Déc 2010, 17:53

Bonjour à tous !

Auriez vous des conseils à me donner pour débuter la résolution de ce système : (Niveau 1ère S)

[url="http://www.hebergementimages.com/image-c39616a233e4769b4cd290b193907bb4_Sans-titre.jpg.html"]

[/url]

Je ne vois pas comment faire... La substitution est-elle efficace ici ?
MERCI.

par **Sa Majesté** » 22 Déc 2010, 18:01

Salut

Par ex tu combines la 1ère et la 2ème pour éliminer x
et la 1ère et la 3ème pour éliminer x
Tu te retrouves avec un système de 2 équations à 2 inconnues

par **Malo** » 22 Déc 2010, 18:04

Je trouve
y(1-a)+z(1-b)=1-c
y(1-a^2)+z(1-b^2=1-c²
En faisant (1) - (2) et 1-3

par **Sa Majesté** » 22 Déc 2010, 18:07

Maintenant tu peux éliminer y facilement

par **Malo** » 22 Déc 2010, 18:29

Par soustraction (1')-(2') ?

par **Sa Majesté** » 22 Déc 2010, 18:47

Ça ne va pas enlever les y

par **Malo** » 22 Déc 2010, 19:03

Comment faire ?

par **Sa Majesté** » 22 Déc 2010, 19:11

Indice : 1-a²=(1-a)(1+a)

par **Malo** » 22 Déc 2010, 19:13

Donc y(1-a²)=y(1-a)(1+a) donc on peut faire quoi ? Soustraire non ?

par **Sa Majesté** » 22 Déc 2010, 20:13

Tout à l'heure tu as proposé (1')-(2')
Ça ne marche pas car les y ne s'éliminent pas
Mais (1+a)(1')-(2') permet d'éliminer les y

par **Malo** » 22 Déc 2010, 20:26

Ok merci :)

J'obtiens donc :
z(1-b)(1-a)-z(&-b)(1+b)=(1-c)(1+a)-(1-c)(1+c)
d'où z(1-b)(a-b)=(1-c)(a-c)

par **Sa Majesté** » 22 Déc 2010, 20:28

d'où z=...

par **Malo** » 22 Déc 2010, 20:32

On a donc z=(1-c)(a-c)/(1-b)(a-b).
Il ne me reste donc plus qu'à substituer ce résultat final dans les premières équations, je n'ai plus qu'un système de 2 équations à 2 inconnues, n'est-ce pas ?
Autre petite question (qui me semble importante) : doit on ici régler l'histoire des valeurs interdites, des signes ? Par exemple, il est clair que a doit être différent de 1 comme b et c.
Merci beaucoup pour ton aide, c'est vraiment super sympa !

par **Sa Majesté** » 22 Déc 2010, 20:41

Malo a écrit:On a donc z=(1-c)(a-c)/(1-b)(a-b).
Il ne me reste donc plus qu'à substituer ce résultat final dans les premières équations, je n'ai plus qu'un système de 2 équations à 2 inconnues, n'est-ce pas ?

Oui

Malo a écrit:Autre petite question (qui me semble importante) : doit on ici régler l'histoire des valeurs interdites, des signes ? Par exemple, il est clair que a doit être différent de 1 comme b et c.
Merci beaucoup pour ton aide, c'est vraiment super sympa !

Tu as parfaitement raison
A partir de z(1-b)(a-b)=(1-c)(a-c), tu peux diviser par (a-b) car l'énoncé dit que a, b et c sont distincts 2 à 2
En revanche il faut discuter suivant que b vaut 1 ou pas

par **Malo** » 22 Déc 2010, 20:55

Si b=1, le système n'admet pas de solution.
Si b est différent de 1, le système admet un unique 3-uplet solution, à partir de z comme on l'a trouvé.
Cela est-il correct ?

par **Sa Majesté** » 22 Déc 2010, 20:57

Non c'est faux.
Prenons le cas b=1. Si a=1 et c=1 alors tous les triplets (x,y,z) tels que x+y+z=1 sont solutions. Il y a donc une infinité de solutions.

par **Malo** » 22 Déc 2010, 21:03

Donc infinité ou un seul couple, c'est ça ?

par **Sa Majesté** » 22 Déc 2010, 21:06

Même pas !
Par exemple a=1, b=1, c différent de 1, alors il n'y a pas de solutions
En toute rigueur il faut étudier tous les cas de figure, c'est un peu lourd

par **Malo** » 22 Déc 2010, 21:31

D'accord !

Merci pour ton aide précieuse !

Résolution d'un système linéaire

Résolution d'un système linéaire

Qui est en ligne