Rédiger une résolution de système par combinaison linéaire :

[fhfhfufss]

Bonsoir,


J'aurais une question de rédaction :

On veut résoudre :


ax+by=C (1)
dx+ey=D (2)

on multiplie (1) par d et (2) par -a

dax+dby=dC (1)
-adx+(-aey)=-aD (2)


Mon problème est à cette étape :

pour faire (1) +(2) on est obligé de casser les accolades du systèmes ...
Comment rédiger en rigueur ?

Cordialement,

[WillyCagnes]

(1)+(2)=
dby -aey= dC -aD
y(db -ae)= dC -aD

d'où y= (dC -aD)/(db -ae)
on deduit x de (1)

x=(C-by)/a

[mathelot]

Dans la résolution, dûe à G.Cramer, on a l'implication
du système (S) sur un système trivial :


si (x,y) vérifie S, alors x=.. et y=...


En toute logique, il faudrait envisager la réciproque, ce que l'on fait trop rarement:
Vérifier que les valeurs trouvées sont bien solutions.

Il vaudrait mieux que tu nommes les coefficients a,b,a',b' et le second membre c, c'.

[fhfhfufss]

(1)+(2)=
dby -aey= dC -aD
y(db -ae)= dC -aD

d'où y= (dC -aD)/(db -ae)
on deduit x de (1)

x=(C-by)/a

1. donc on casse les accolades du systèmes ?

par ce que au début on a :

( ............ (1)
( ............ (2)

et après on a juste :

(1) + (2) = ....... - ........

C'est plus une présentation sous forme de système non ?

2. Et pour un système d'équation a trois inconnus et trois ligne on fais comment la rédaction de la combinaison ?

[bolza]

1. donc on casse les accolades du systèmes ?

par ce que au début on a :

( ............ (1)
( ............ (2)

et après on a juste :

(1) + (2) = ....... - ........

C'est plus une présentation sous forme de système non ?

2. Et pour un système d'équation a trois inconnus et trois ligne on fais comment la rédaction de la combinaison ?

Tu peux garder les accolades :

(............. (1)
(............. (2)

donne :

(.............. (1)
(.............. (1) +(2)

De manière générale, tu peux remplacer la ligne i par
((a * Ligne i) + une combinaison linéaire des autres lignes) avec a 0.

Pour que les deux systèmes soient équivalent, il faut que les opérations que vous faites soit réversible.

Si on ne prend pas cette précaution d'utiliser des opérations réversible,
alors comme l'a souligné mathelot, il faudrait vérifié que les solutions trouvés sont bien solutions du système initiale.

Par exemple là l'opération faite est réversible car si dans le système du bas, je remplace
la deuxième ligne par elle même moins la première, alors je retombe sur mon système
d'équation de départ. (au dessus).

Je ne sais pas si c'est très claire ce que je dit :/

[fhfhfufss]

Tu peux garder les accolades :

De manière générale, tu peux remplacer la ligne i par
((a * Ligne i) + une combinaison linéaire des autres lignes) avec a 0.

Pas compris ...

Par exemple là l'opération faite est réversible car si dans le système du bas, je remplace
la deuxième ligne par elle même moins la première, alors je retombe sur mon système
d'équation de départ. (au dessus).

En gros si j'ai bien compris une frois les multiplications faites sur chaque lignes pour assurer la simplification après combinaison on écris :

( ...... = ........ (l1)
( ...... = ........ (l2)
( ...... = ........ (l3)

équivaut a :

( ...... = ........ (l1)
( ...... = ........ (l2)
( ...... = ........ (l1+l2+l3)

Et ceci ne casse pas l'équivalence ?

[chan79]

Salut
On peut justifier chacune des 6 implications ci-dessous.
Mais ce serait long à rédiger ...

[bolza]

Pas compris ...






En gros si j'ai bien compris une frois les multiplications faites sur chaque lignes pour assurer la simplification après combinaison on écris :

( ...... = ........ (l1)
( ...... = ........ (l2)
( ...... = ........ (l3)

équivaut a :

( ...... = ........ (l1)
( ...... = ........ (l2)
( ...... = ........ (l1+l2+l3)

Et ceci ne casse pas l'équivalence ?

Pour reprendre votre exemple, une combinaison linéaire de l1, l2 et l3 est de la forme :
a* l1 + b * l2 + c * l3.

Donc tu peux passer de

( ...... = ........ (l1)
( ...... = ........ (l2)
( ...... = ........ (l3)

à

( ...... = ........ (l1)
( ...... = ........ (l2)
( ...... = ........ (a * l1+ b * l2+ c * l3)

Si on pose l1' = l1 ; l2' = l2 et l3' = a * l1+ b * l2+ c * l3, le nouveau système est donc :

( ...... = ........ (l1')
( ...... = ........ (l2')
( ...... = ........ (l3')

Ce système est équivalent au premiers ssi l'opération que l'on a faite est réversible.
Par exemple si on remplace l3' par (-a/c) * l1' + (-b/c) * l2' + (1/c) * l3'
on obtient le système de départ.
Donc pour que l'opération soit réversible, il faut et il suffit que c soit non nul*.
(Ce qui est logique, car si on remplace une ligne par 0 = 0, on perd une équation ^^).

(En faites il faut que c soit inversibles, si on est sur les rationnels ou sur les rationnels
alors c inversible se traduit par c non nul, mais si on cherche des solutions entière
par exemple, alors c inversible se traduit par c= 1 ou c = -1).

EDIT: en fait pour être plus préçis, pour les systèmes d'équations dans Z,
pour avoir l'équivalence, il faudrait que a/c soit entier et b/c aussi donc
on doit avoir c | a et c | b, donc on peut choisir c parmi les diviseurs du pgcd(a,b).