Une inégalité bien sympa ;)

par **Malo** » 29 Oct 2010, 17:21

Salut !

Voilà une petite inégalité d'OIM sur laquelle je bloque ! :p
Tout d'abord, les présentations : tadam l'inégalité :

Soient x, y et z des réels positifs tels que

Démontrez que :

Bon alors si je réduis tout au même dénominateur, ça devrait marcher non ?
Merci merci !

par **arnaud32** » 29 Oct 2010, 17:40

je te conseille neanmoins

par **Malo** » 29 Oct 2010, 17:50

Oui, merci de l'astuce ! Je reposte quand j'aurais déjà fait ce travail ! :)

par **Malo** » 29 Oct 2010, 18:04

J'obtiens :

C'est correct ?

par **Malo** » 29 Oct 2010, 20:30

Quelqu'un pourrait-il vérifier ce résultat svp ?

par **arnaud32** » 29 Oct 2010, 22:55

oui puis tu factorise par x²+y²+z²

par **Malo** » 30 Oct 2010, 10:27

Merci

Alors j'ai :

C'est ok ?

par **Rebelle_** » 30 Oct 2010, 11:01

Bonjour =)

J'ai peut que ça ne soit pas bon, quand on développe cette forme on ne retrouve pas celle du début :/

par **Malo** » 30 Oct 2010, 11:19

Merci de ta réponse =) Je crois que j'ai mélangé les inverses et les dénominateurs :p

par **Rebelle_** » 30 Oct 2010, 11:25

Je pense aussi ^^'

par **Olympus** » 30 Oct 2010, 14:13

Bonjour !

J'ai une solution très élégante si vous êtes intéressés :zen:

On a

, donc il nous suffira de montrer que

, c'est à dire

.

Lemme :

Démonstration :

L'inégalité est équivalente à :

Or par AM-GM on a :

En sommant on a notre lemme .

On applique notre lemme, on somme cycliquement, et hop on a l'inégalité recherché ;-)

par **Olympus** » 30 Oct 2010, 14:40

Je crois que c'est à déplacer à la section "Olympiades", car sinon, le topic serait vite noyé ici ...

Sinon, de quelle OIM est tirée cette inégalité ?

par **Malo** » 30 Oct 2010, 15:47

Salut Olympus !
Trois choses :
- Ta solution est élégante, mais je n'ai pas vu les sommes cycliques encore donc désolé, je comprends pas tout =)
- Bonne idée de déplacer le topic !
- Cet exercice est le 3ème de l'OIM 2005.

par **Rebelle_** » 30 Oct 2010, 15:51

Excusez mon ignorance, OIM veut-il bien dire Olympiades Internationales de Mathématiques (merci Google ^^') ?
Si oui je comprends pourquoi je n'avais pas trop d'idées là-dessus :P

En effet la solution est fort intéressante ! :)

par **Malo** » 30 Oct 2010, 15:52

Tout à fait, Rebelle :)
Je revérifie mon histoire de facto et je reposte ;p

par **Olympus** » 30 Oct 2010, 15:54

Mon

ci-dessus dit juste "permutez mes variables cycliquement et vous aurez mes deux autres termes", c'est juste une notation car c'est chiant d'écrire les inégalités entièrement avec le LaTeX ^^

par **Malo** » 30 Oct 2010, 15:58

Ok. Bah sinon pour la facto, je vois pas dautre solution que de mettre "simplement"

Je vois pas comment simplifier plus ^^

par **Malo** » 30 Oct 2010, 16:02

Ouais mais non !
Si l'on étudie l'inégalité avec les x^2, y^2 et z^2 et comme membre de droite 3, on peut appliquer Cauchy Schwarz aux triplets (x^5/2,y,z) et (x^-1/2,y,z)

par **Olympus** » 30 Oct 2010, 16:19

Effectivement, ça marche aussi avec Cauchy-Schwarz et l'inégalité triviale

:++:

par **Malo** » 30 Oct 2010, 16:40

Olympus a écrit:Effectivement, ça marche aussi avec Cauchy-Schwarz et l'inégalité triviale :++:

Merci de ton aide

Une inégalité bien sympa ;)

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