Limites trigo ardues

par **froudjik** » 23 Oct 2010, 13:18

Bonjour, j'ai deux limites que je ne sais pas trop comment déterminer. Merci de m'aider svp

1ère :

2ème :

par **froudjik** » 23 Oct 2010, 13:24

Pour la première j'ai un peu simplifié l'expression, je sais pas si ça peut aider :

J'ai :

par **froudjik** » 23 Oct 2010, 15:47

svp... :hein:

par **Ericovitchi** » 23 Oct 2010, 15:50

Pour la seconde regardeslà ou là si tu veux, c'est assez classique.

la première tends vers n(n+1)/4 en faisant des développements limités (ou avec la règle de l'hospital)

par **froudjik** » 23 Oct 2010, 16:58

Merci beaucoup de ta réponse !
Je ne suis qu'en terminale, je n'ai pas encore vu les développements limités. Je vais essayer avec la règle de l'Hospital...

par **Ericovitchi** » 23 Oct 2010, 17:11

Oui la règle de l'hospital marche très bien dans ce cas. Tu as juste à savoir que sin x / x tend vers 1 pour trouver que c'est la moitié de l'exposant, la limite.

par **froudjik** » 23 Oct 2010, 18:45

Sur ce site ils parlent d'une méthode qui n'utilise pas la règle de l'hospital mais je ne comprends pas la dernière étape quand ils passent de l'expression de la limite à

par **Sa Majesté** » 23 Oct 2010, 20:41

Salut

Tu as

Et

par **froudjik** » 23 Oct 2010, 20:47

Sa Majesté a écrit:
Et

J'imagine que c'était

Mais c'est justement ça que je ne comprends pas...

par **Ben314** » 23 Oct 2010, 21:44

Salut,
Heuuuu, c'est moi qui suis con ou bien, l'énoncé tel quel avec k qui commence à 0 est franchement couillon ?

par **muse** » 23 Oct 2010, 23:20

lim cos(x)=1 quand x tend vers 0 et 1 puissance k ça fera toujours 1

par **froudjik** » 24 Oct 2010, 16:59

Ah oui je suis c** ! Merci beaucoup :)

par **froudjik** » 26 Oct 2010, 20:06

Rebonjour,

Désolé, je suis un boulet je sais, mais pour revenir sur un des lien qu'a posté Ericovitchi, je ne comprends pas ce calcul :

f' (x) = sin(x)cos(2x) ..cos(nx) + cos(x)2sin(2x)...cos(nx) +... +cos(x)cos(2x)...nsin(nx)

Un équivalent de f' (x) est donc: ( 1² + 2² +... + n² ) * x

Quand il parle d'equivalent, ca veut dire que la limite en 0 est la même ?

Dans ce cas je ne comprends pas comment on peut conclure à partir de ça. On pourrait donner n'importe quoi comme expression à

Je vois juste que comme il y a des sin partout, forcément la limite de f' en 0 sera 0, mais ca ne m'avance pas beaucoup ça...

par **Sa Majesté** » 26 Oct 2010, 20:32

Il utilise la règle de l'Hopital

Le numérateur vaut sin(x)cos(2x) ..cos(nx) + cos(x)2sin(2x)...cos(nx) +... +cos(x)cos(2x)...nsin(nx)
Chacun des cos est équivalent à 1 en 0
Chacun des sin(kx) est équivalent à kx
Du coup le numérateur est équivalent à x+4x+ ... + n²x = (1+4+...+n²)x

Le dénominateur vaut 2x

Le ratio est équivalent à (1+4+...+n²)x / (2x) = (1+4+...+n²)/2 = n(n+1)(2n+1)/12

par **froudjik** » 26 Oct 2010, 20:51

Chacun des sin(kx) est équivalent à kx

Mais que veut dire "equivalent" exactement ?
On ne voit pas vraiment cette notion au lycée pour calculer des limites si ?

par **Sa Majesté** » 26 Oct 2010, 20:52

froudjik a écrit:On ne voit pas vraiment cette notion au lycée pour calculer des limites si ?

Non je ne pense pas
C'est lié aux développements limités
A mon avis tu peux laisser tomber sauf si tu veux approfondir par curiosité

par **froudjik** » 26 Oct 2010, 23:00

Ce que je ne comprends pas, c'est que si on s'en tient au simple fait que cos(0)=1, la limite du numérateur revient à la limite de

en 0 qui est 0*0+1*0+2*0+...+n*0=0

Or, le résultat attendu n'est pas du tout le même...

par **Sa Majesté** » 27 Oct 2010, 11:12

Que la limite du numérateur soit égale à 0, je n'en disconviens pas
D'ailleurs quand on écrit qu'un équivalent au numérateur en 0 est (1+4+...+n²)x, on a bien 0 comme limite en 0
Le problème n'est pas de trouver la limite en 0 du numérateur car la limite du dénominateur est également 0 et on tombe sur une forme indéterminée
Le problème c'est de trouver un équivalent qui permette de lever cette indétermination

Ici on trouve comme équivalent en 0 : (1+4+...+n²)/2

Autre exemple
Si tu veux trouver la limite en 0 de (1-cos x)/sin x, tu peux utiliser la règle de l'Hôpital, ce qui donne sin x/cos x, ce qui fait 0 en 0
Avec les équivalents tu obtiens (x²/2) / x = x/2, dont la limite en 0 est 0. Tu obtiens même plus puisque tu peux dire que (1-cos x)/sin x se comporte comme x/2 au voisinage de 0

par **froudjik** » 27 Oct 2010, 13:20

D'accord je crois que je comprends mieux...
Mais quelle est la méthode pour pour déterminer un équivalent au voisinage d'un point ?

par **Sa Majesté** » 27 Oct 2010, 14:07

On utilise les développements limités
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_limit%C3%A9

Tu peux consulter le formulaire
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_limit%C3%A9#Formulaire

Dans la démo de ton exo on a fait un DL à l'ordre 1 de sin(x)cos(2x) ..cos(nx) + cos(x)2sin(2x)...cos(nx) +... +cos(x)cos(2x)...nsin(nx)

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