équations et simplifications ardues

[c3lc1u5]

Bonjour,
voila il s'agit d'indiquer un moyen permettant de calculer mentalement :
145²
47²-36²
444....444(29 chiffres) * 666...667(119 chiffres) - 888...888(19 chiffres) * 333...333(119 chiffres)

et puis il faut déterminer les couples d'entiers naturels (x,y) tels que :
x^3-y^3 = 3y+1


voila j'ai un des meilleurs profs de llg et la je suis vraiment en panne (pour les 2 premiers claculs j'ai une idée mais je suis pas sur)

merci d'avance en attendant je continue de chercher

[Flodelarab]

et si tout betement tu utilisait des identités remarquable pour avoir des carrés faciles a calculer ?

[Quidam]

444....444(29 chiffres) * 666...667(119 chiffres) - 888...888(19 chiffres) * 333...333(119 chiffres)

Salut !

444....444(29 chiffres) = 4*111....111(29 chiffres)




Fais pareil pour les autres et après ça coule tout seul !

[c3lc1u5]

Pour les identités remarquables j'avais trouvé mais je voulais savoir s'il n'y avait pas d'autres moyens.


Quidem pour 666...667 comment je fais : (6*(10^119-1)/9)) +1
c'est le calcul rapide de la différence que l'on cherche

Pas d'idées pour la suite ?

[c3lc1u5]

uppppppppp

[Quidam]

Quidem pour 666...667 comment je fais :

Quidam s'il te plaît ! Merci !

(6*(10^119-1)/9)) +1

Ben bien sûr ! Après ça prend deux lignes ! Fais le, tu verras bien ce qui se passe !

[c3lc1u5]

dsl Quidam en plus je fais du latin^^

Oui c'est bon j'ai trouvé merci.

Maintenant manque plus que les fameux couples d'entiers naturels (x,y) tels que :
x^3-y^3 = 3y+1

[c3lc1u5]

up svp

merki

[c3lc1u5]

j'ai une idée je vous la soumets :

si j'exprime x^3 en fonction de y^3 ca me donne :
x^3= y^3+3y+1

ensuite je remplace x^3 dans l'equation :
y^3+3y+1 - y^3 = 3y+1
y^3+3y+1 = y^3+3y + 1

donc y=0 et x=1

[Quidam]

x^3-y^3 = 3y+1

Posons x=y+k




Si k>0, ceci est un trinôme du second degré.
Le discriminant de ce trinôme du second degré en y est :



*
Appelons cette fonction de k.

La dérivée de cette fonction de k est :


Etudions


est toujours négative. donc est décroissante.
,
Donc s'annulle une seule fois entre 0 et 1 pour
est donc croissante entre 0 et , puis toujours décroissante.
On observe que , ,
Ainsi, les seuls entiers positifs qui permettent à d'être positif sont 0 et 1. Mais la valeur k=0 est à exclure (sans intérêt pour le problème et d'ailleurs, l'équation initiale ne serait plus du second degré)

Pour k=1, on obtient en fait la simple équation en y :


équation ayant une racine double 0 (normal, le discriminant est nul) ce qui mène à l'unique résultat possible :

y=0, x=1

Ça me paraît trop facile...

Sauf erreur...

[Quidam]

j'ai une idée je vous la soumets :

si j'exprime x^3 en fonction de y^3 ca me donne :
x^3= y^3+3y+1

ensuite je remplace x^3 dans l'equation :
y^3+3y+1 - y^3 = 3y+1
y^3+3y+1 = y^3+3y + 1

donc y=0 et x=1

Ah non !

De y^3+3y+1 = y^3+3y + 1
tu peux uniquement déduire y=n'importe quoi et x aussi ! Ca se simplifie en 0=0 car tu utilises deux fois la même équation !

[c3lc1u5]

j'avais mis ce résultat en désespoir de cause^^


merki je vais vérifier ca

ensuite j'ai la meme question avec des couples d'entiers relatifs mais je suppose que le résultat n'est pas différent.

Edit : je viens de rgarder ton calcul : tu me sors des dérivées sauf que je suis sensé calculer ca sans connaitre les dérivées ni meme les équations du second degré !

[Quidam]

Edit : je viens de rgarder ton calcul : tu me sors des dérivées sauf que je suis sensé calculer ca sans connaitre les dérivées ni meme les équations du second degré !

Regarde le post suivant ; j'avais fait trop compliqué, le deuxième post est plus simple.

D'un autre côté, si tu m'avais dit dans quelle classe tu étais, j'aurais su si tu étais censé connaître les dérivées et les équations du second degré !!!

Dans quelle classe es-tu ?

[c3lc1u5]

en seconde

quel post je vois que celui avec le trinome et les dérivées^^

[c3lc1u5]

up psl je suis perdu