Autour d'une matrice définie positive

[Liv]

Bonjour,

Après quelques années en dehors des maths, voilà qu'un problème algébrique se pose à moi dans le cadre d'une thèse. Je le poste ici surtout pour avoir des pistes où chercher, car je ne suis plus plongé dans ce bain-là depuis un moment.

On pose n>6 et on définit deux matrices P(nx6) et Q(6xn) de rang plein 6 telles que QP>0 (définie positive).
Plus exactement, Q est une estimation de la pseudo-inverse de P, autrement dit QP est proche de l'identité

Maintenant, on pose la matrice nxn diagonale K de termes diagonaux , elle-même définie positive et de trace 1 (autrement dit et ).

Je cherche les propriétés de la matrice QKP. Plus précisément je cherche à savoir si QKP>0. Dans le cas où les sont égaux il est évident que QKP=1/n * QP > 0.
Qu'en est-il dans un cas plus général ? J'imagine qu'il existe un voisinage où cette propriété est toujours vérifiée, les valeurs propres d'une matrice étant continues par rapport aux termes de la matrice.

Quelles propriétés des matrices définies positives ou de la pseudo-inverse pourraient me rapprocher d'une preuve claire et formelle de ce que j'avance ?

Merci

[windows7]

Salut

Si A et B sont definies positive et que AB=BA alors AB est aussi definie positive, on ne peut donc rien savoir sans autre info ..

t'as question est : peut on trouver une matrice K telle que QKP>0 c'est bien ca ?

[Liv]

Merci pour la réponse

Non ma question est de savoir dans quelle mesure QKP>0 sachant que QP>0 et K>0.

Je pense procéder par continuité : si K est l'identité, c'est trivial. Du coup il doit y avoir un voisinage de I où QKP>0. Après, pour en dire plus ça ne va pas être évident.

[windows7]

d'accord t'as essayé la decompositions en valeur singuliaire pour voir un peu si ca arrange ?

oui ton idée est bonne on peut trouver un ouvert dans lequel tt va bien. apres le determiner c'est pas la meme ..

jpartirais bien dla facon suivante : on introduit une matrice de perturbation e
diagonale tq eii soit dans ]-1, +inf [

..

[windows7]

up up up up up up

[Liv]

Merci pour la réponse, je n'ai pas regardé la SVD encore.

En revanche, pour la preuve par continuité, j'aurais besoin d'un rafraîchissement pour être un peu rigoureux. Je redécouvre avec plaisir ces notions mathématiques oubliées depuis la prépa et les réflexes ne sont plus là !

On appelle l'ensemble des matrices définies positives de dimension nxn et de trace 1. On peut donc définir la fonction spectre suivante:

On peut montrer qu'elle est continue, et en déduire qu'il existe un voisinage de où toutes les images sont à valeurs propres positives.

Pour ça, j'imagine qu'il faut se pencher sur la nature de . On peut montrer que c'est homéomorphe à une portion de sphère (où toutes les coordonnées sont positives).

Dans ce cas, la propriété qui nous aide à conclure par continuité est bien la connexité de ? Histoire d'être sûr que n'est pas tout seul dans son voisinage ?

[windows7]

salut

tu prend un norme sur S1 et une sur IR^6 et tu verifie que la fonction est continue c'est "tout".

sectre >= 0 etant un fermé de IR par continuité de ta fonction on a directement que l'image reciproque est un fermé egalement.

[Liv]

Ok, pour parler de continuité sur S1 (portion de sphère dont les composantes sont >0), dire que c'est un ouvert de la sphère suffit à être rigoureux, j'imagine ?

Ce qui m'intéresse sont les matrices définies positives, mais la réciproque fonctionne aussi dans ce cas, avec des ouverts.

[windows7]

sectre=IR+ c'est un fermé.

donc comme ta fonction est continue alors l'image reciproque de ton spetre est un fermé : c'est rigoureux a condition que tu montres bien que ta fonction est bien continue.

tu l'as montré ?

[Liv]

je m'intéresse à Sp>0 ce qui donne un ouvert de R+*^6.

J'ai défini la fonction comme composée de deux fonctions : la classique fonction spectre sur M6 (matrices carrées de dim 6), et la fonction qui à une matrice K de S1 associe la matrice QKP de M6.

La première est continue sur M6 (continuité du spectre), la deuxième est continue sur S1 qui est un ouvert sur la sphère entière. Par là, la fonction composée est continue et l'image réciproque de R+*^6 est un ouvert de S1 contenant l'identité.

[windows7]

donc definie strictement positive.

Jusque la ok. apres on cherche la borne sup ? born inf ? de ce fermé? pour quelle norme ?