Raisonnement par récurrence

[hissein]

bonjour les amis
je me casse la tete deouis une semaine a resoudre ce probleme.

3*3! + 4*4! + ... + n*n! = (n+1)! - 6

quelqu'un a une idee?

merci d'avance

[beagle]

n=2 marche bien

sinon fais le à la main
avec 3 puis 4 puis 5 puis 6 puis 7
et regarde si cela te rapproche de la solution, ou bien si au fur et à mesure tu n'es pas en train de t'en éloigner ...

Peut-ètre que le différence entre (n+1)!-6 - l'autre truc,
ben peut-ètre que par récurrence cette différence augmente de plus en plus,
donc si au départ c'est positif plus grand que zéro, et que cela augmente de plus en plus ben c'est qu'on trouvera jamais.

Je dis cela mais j'ai pas fait les calculs vraiment, mais on dirait que (n+1)!-6 monte sacrément plus vite que l'autre terme de l'équation,

[Doraki]

Comme le titre l'indique, un raisonnement par récurrence marche très bien.

[beagle]

ah bon ,ben désolé,
je connais la récurrence que depuis que je suis sur le site, c'est Nighmare et Ericovitchi qui m'avaient montré ce truc,
ça n'existait pas au lycée de mon temps ma bonne dame,
alors je connais pas les finesses de à quoi ça sert et comment etc...

[beagle]

on prend chaque terme de l' équation où l' on fait la soustraction de quand n+1 - quand n
semble aller vite non?

[Finrod]

n=2 marche bien

non n=2 ça marche pas, d'ailleurs la somme commence à 3.

2*2!=4 et 3!-6 = 0

3*3!= 18 et 4!-6 = 18 ok

par récurrence, ça marche bien en effet.

[beagle]

perso j'accepte 2 pour la raison suivante,

si je fais n=6
c'est 3x3+4x4+5x5+6x6+7x7+8x8
oups désolé faut aller jusqu'à nxn, donc je barre 7x7 et 8x8
c'est 3x3+4x4+5x5+6x6

Pour n=2
c'est 3x3+4x4+5x5+6x6+7x7+8x8
oups, désolé faut aller jusqu'à 2x2, donc je barre 8x8,7x7,6x6,5x5,4x4,3x3,
bon ben j'ai plus rien, c'est 0
et l'autre coté c'est 0 aussi

bon , je sais que l'exo n'est pas défini avant 3,
mais si ce n'est pas précisé j'accepte le 2,
OK c'est borderline ...

[hissein]

debut: 3*3! = (3+1)! – 6
18 = 18

pour n > 3
3*3! + 4*4! + ... + n*n! = (n+1)! – 6

si je fait
3*3! + 4*4! + ... + n*n! + [(n+1)*(n+1)!] = (n+1+1)! – 6

... comment faire pour avoir :
***** = (n+2)! – 6

est ce le bon cheminement?

les Maths :mur:

[beagle]

oups, j'ai pas vu les ! derrière les carrés, chez moi cela ne marchait pas bien,
désolé pour le dérangement,
je cours chez l'ophtalmo, j'ai au moins gagné cela,
l'heure de changer mes lunettes.

PS:alors si 0!=1, le 2 ne marche plus zut

[beagle]

debut: 3*3! = (3+1)! – 6
18 = 18

pour n > 3
3*3! + 4*4! + ... + n*n! = (n+1)! – 6

si je fait
3*3! + 4*4! + ... + n*n! + [(n+1)*(n+1)!] = (n+1+1)! – 6

... comment faire pour avoir :
***** = (n+2)! – 6

est ce le bon cheminement?

les Maths :mur:

tu cherches pas (n+2)!-6

fais la soustraction des deux équations
gauche - gauche= droite-droite
regarde ce qu'il reste

[hissein]

je ne comprend pas sorry, t'entends tu par Gauche-Gauche?

[beagle]

désolé hissein, j'ai mon boulot et queqlue chose aussi sur le feu en forum collège,
donc ici je vais raconter des bétises si je ne réfléchis pas 5 mn avnt de poster, me semblait qu'on pouvait soustraire les égalités n et n+1, mais pas le temps de voir si autorisé et si cela mène à démonstration

demande de l'aide plus autorisée,
j'espère qu'ils vont reprendre la main.

[hissein]

désolé hissein, j'ai mon boulot et queqlue chose aussi sur le feu en forum collège,
donc ici je vais raconter des bétises si je ne réfléchis pas 5 mn avnt de poster, me semblait qu'on pouvait soustraire les égalités n et n+1, mais pas le temps de voir si autorisé et si cela mène à démonstration

demande de l'aide plus autorisée,
j'espère qu'ils vont reprendre la main.

ok merci Beagle.

[Ben314]

Ben, ici, c'est une récurrence on ne peut plus standard :

Amorce : pour n=3 on a 3.3!=3.6=18 et 4!-6=24-6=18 donc la propriété est vérifiée pour n=3.

Hérédité Supposons que, pour un n>3 donné on ait la propriété à l'ordre n-1, c'est à dire que l'on ait :
3.3!+4.4!+...+(n-1).(n-1)! = n!-6
On en déduit que
3.3!+4.4!+...+(n-1).(n-1)!+n.n! = (n!-6)+n.n! = (n+1).n!-6 = (n+1)!-6
CQFD

[hissein]

salut desole pour le retard mais merci infiniment a vous tous les amis,
particuliairement a Ben314, de m'avoir sauver.

probleme resolu ...