Raisonnement par récurrence

[azerty14]

Bonsoir j'arrive pas à faire une étape de mon exo qui a pour énoncé:
Démontrer par récurrence le résultat suivant:
Pour tout entier naturel n>OU égal à1, 1aucube + 2aucube +...+naucube=n²(n+1)²/4
Bon moi j'arrive a faire l'étape d'initialisation
mais celle de l'hérédité:
1aucube + 2aucube +naucube+ (n+1) = (n+1) +n²(n+1)²/4
a partir de cet expression je n'arrive pas à la factoriser pour rendre P(n+1) vraie
quelqu'un peut il m'aider a finir ce calcul?

[Sylviel]

Dans ce genre de cas le plus simple est de faire la différence des deux expressions. Et au passage c'est un (n+1)³.

Donc calcule
(n+1)³+n²(n+1)²/4 - (la formule au rang n+1) et montre que cela fait 0.

Cette méthode à l'avantage de ne pas demander de réflexion (que du calcul bourrin !)

[arnaud32]

tu pars de
dans le membre de droite ru utilises ton hyp de recurence, puis tu facorise par (n+1)²

[Black Jack]

Supposons 1³ + 2² +...+n³=n²(n+1)²/4 vraie pour une valeur k de n, on a alors :

1³ + 2² +...+k³ = k²(k+1)²/4

1³ + 2² +...+k³ + (k+1)³= k²(k+1)²/4 + (k+1)³

1³ + 2² +...+k³ + (k+1)³= (k+1)²/4 . (k² + 4(k+1))

Et en constatant que (k² + 4(k+1)) = (k+2)²

...

:zen: