Raisonnement par récurrence

[DiaNee]

Bonjour, élève en prépa ECE, je dois montrer que pour n appartenant à N, la propriété Qn: n! supérieur ou égal à 3^n est héréditaire à partir du rang 2; et déterminer l'ensemble E des entiers naturels n pour lesquels Qn est vraie.

J'ai commencé par supposer que Qn est vraie; je dois alore montrer qu'alors Qn+1 est vraie c'est à dire:
(n+1)! supérieur ou égal à 3^n+1
à vrai dire je "bloque" à partir de là...

je sais que 3^n+1 : 3^n+3 et (n+1)!=n!(n+1) mais je ne sais pas comment les utiliser...

Quelqu'un aurait-il une idée ?

[B_J]

la propriete n'est vraie qu'a partir du rang 7
(n+1)!=(n+1)*n!>=3^n *(n+1)>=3^n *3 car n+1 >=3 pour n>=7

[DiaNee]

c'est ce que j'ai dis à ma prof mais elle m'a dit qu'il ne fallait pas prouver que la propriété était vraie mais supposer qu'elle est vraie car elle nous demande uniquement de montrer qu'elle est héréditaire à partir du rang 2...

[B_J]

ok dans ce cas si on suppose que la proprieté est vraie a partir du rang 2 alors on a
pour n>=2 :
n!>=3^n ..........(1)
maintenant :
(n+1)!=[n!]*[(n+1)] >=3^n*(n+1) en appliquant (1)
mais on a n>=2 => n+1>=3
donc au final :
(n+1)! >= 3^n * 3=3^(n+1)
donc la proprité est heriditaire

[DiaNee]

merci bcp !