Distance d’un point à une droite.

[Emel-ii-nee]

Bonjour, j'ai un gros exercice à faire, mais je n'y arrive pas..
J'aurais besoin de votre aide pour me guider !
Voici l'énoncé.. (Je met entre « », les vecteurs)


Dans un plan muni d’un repère orthonormal (O, i, j), on considère la droite D d’équation 3x – 2y + 1 = 0 et le point A (2 ; 1).
a) Tracer la droite D et placer le point A.
b) Déterminer une équation de la droite D’ passant par A et perpendiculaire à D.
c) Calculer les coordonnés du point H, projeté orthogonal du point A sur la droite D.
d) En déduire la longueur AH, appelée distance du point A à la droite D.

A. Cas général
D est la droite passant par le point B et admettant n pour vecteur normal.
Soit A un point quelconque du plan.
On cherche à déterminer la distance du point A à la droite D, c’est-à-dire la longueur AH, où H est le projeté orthogonal de A sur la droite D.
a) Justifier l’égalité « BA ». « n » = « HA ». « n »
b) Montrer alors que la distance cherchée est donnée par l’égalité d = (| « BA ». « n »|) / || « n »||

- Applications numériques
Le plan est muni d’un repère orthonormal.
a) Déterminer la distance du point A(5 ;6) à la droite d’équation 3x + y + 1 = 0.
b) Dans le triangle EFG, avec E(2 ;0), F(-1 ;1) et G(3 ;4), déterminer la longueur de la hauteur issue de E, puis l’aire de ce triangle.

B.Expression analytique
On conserve les notations ci-dessus, en supposant, de plus, que ax + by + c = 0 est une équation de D, dans le repère orthogonal (O, i, j).
On choisit pour vecteur normal à D, le vecteur « n »(a-b)
a) Calculer || « n »|| en fonction de a et b.
b) On pose A(xa ;ya) et B(xb ;yb) sachant que B est un point de D.
Démontrer que l’on a | « BA ». « n »| = | a(xa) + b(ya) + c| .
c) En déduire la relation d = [ |a(xa) + b(ya) + c | ] / (racine de a² + b²)

- Application numérique : Démontrer que le point A(1 ;1) est le centre du cercle inscrit dans le triangle XOY, où X(2+racine de2 ;0) et Y(0 ;2+racine de2).


Merci d’avance !!

[Teacher]

Où bloques tu ?

[Teacher]

Tu veux pas qu'on te fasse l'exercice non plus !

[Emel-ii-nee]

J'aurais juste besoin de piste pour m'aider à démarrer...
Bien sûr que non, je ne veux pas que vous fassiez l'exercice à ma place, cela ne me servirais à rien. :happy2:

[Emel-ii-nee]

Voici où je bloque exactement :

a) En faite, je n'ai jamais sû tracer une droite en utilisant son équation. Pourviez vous m'expliquer votre méthode ?

Après avoir résolu ce petit problème, et avoir compris comment faire, je pense que de déterminer l'équation de la droite D' passant par A et perpendiculaire à D ne sera pas trop compliqué.

J'aimerais aussi que vous m'expliquiez ce qu'est un projeté, car c'est encore assez flou dans ma tête, et je pense être incapble de tracer ou de déterminer ou pourrais se trouver un projeté..

Merci d'avance...

[Emel-ii-nee]

J'aurais besoin d'aide pour la c) ...

Nous savons que H est le projeté orthogonal de A sur la droite D.
C'est le point d'intersection entre la droite D et la droite D'
De point d'intersection H appartient à la fois à D et à D', ce qui signifie que ses coordonnées vérifient à la fois l'équation de D et celle de D'.

Soit avec D : 3x - 2y + 1 = 0
et D' = -2x - 3y + 7 = 0
On aura :

(Mais je ne connais pas la formule pour résoudre ceci..)

[oscar]

J'aurais besoin d'aide pour la c) ...

Nous savons que H est le projeté orthogonal de A sur la droite D.
C'est le point d'intersection entre la droite D et la droite D'
De point d'intersection H appartient à la fois à D et à D', ce qui signifie que ses coordonnées vérifient à la fois l'équation de D et celle de D'.

Soit avec D : 3x - 2y + 1 = 0
et D' = -2x - 3y + 7 = 0
On aura :

(Mais je ne connais pas la formule pour résoudre ceci..)

Autre méthode
1) Equation de D : y = -3/2 x +1/2 (1)=> sa pente est m = -3/2

2)Equation de D' perpend'culaire à D : y = 2/3 x +k
( 2/3*(-3/2) = -1)
Pour trouver k on remplace x et y par les coordonnées de A soit (1;2)
On trouve 2= 2/3 * 1 +k => K = 4/3
D' : y = 2/3x +4/3

3) Coordonnéés de H
Ce sont les coord d l'intersectioin de (1) et (2)


Compare avec tes résultats ( ton D' par exemple)

[Emel-ii-nee]

J'aurais également besoin de votre aide pour cette partie..

A. Cas général
D est la droite passant par le point B et admettant n pour vecteur normal.
Soit A un point quelconque du plan.
On cherche à déterminer la distance du point A à la droite D, c’est-à-dire la longueur AH, où H est le projeté orthogonal de A sur la droite D.
a) Justifier l’égalité « BA ». « n » = « HA ». « n »
b) Montrer alors que la distance cherchée est donnée par l’égalité d = (| « BA ». « n »|) / || « n »||

Pourriez vous m'aider et me guider s'il vous plait ?
Merci d'avance..

[oscar]

AH = | axA + byA + X| / v( a² +b²) ( Wiki)

AH distance " normale" de A par rapport à D

[Emel-ii-nee]

Est-ce correct ?

a) "BA"."n" = ("BA"+"HA")."n" = "BH"."n" + "HA"."n"

"n" est normal à la droite D et B et H sont des points de la droite D donc "n" est orthogonal à "BH", leur produit scalaire est donc nul.

b) D'après la réponse à la question précédente, on en déduis que |"BA"."n"| = |"HA"."n"| = HA * ||"n"||

D'où d = (| « BA ». « n »|) / || « n »||

[Emel-ii-nee]

Merci beaucoup!
Pourriez vous également me guider pour celle-ci ?

- Applications numériques
Le plan est muni d’un repère orthonormal.
a) Déterminer la distance du point A(5 ;6) à la droite d’équation 3x + y + 1 = 0.
b) Dans le triangle EFG, avec E(2 ;0), F(-1 ;1) et G(3 ;4), déterminer la longueur de la hauteur issue de E, puis l’aire de ce triangle.

Merci d'avance!

[Emel-ii-nee]

Voici ce que j'ai fais :

a) Vu l'équation de D, "n" a pour coordonnées (3;1)
Soit ||"n"|| = ;)(x²+y²) = ;)10.
On a A(5;6). On choisit un point B sur D tel que B(0;-1)
Ainsi, AB = ;)(xB-xA)² + (yB-yA)² = ;)25+49 = ;)74.
D'où d = (| « BA ». « n »|) / || « n »|| = ?

Je reste bloquée pour la suite.. :S

[Emel-ii-nee]

a) Vu l'équation de D, "n" a pour coordonnées (3;1)
Soit ||"n"|| = (x²+y²) = 10.
On a A(5;6). On choisit un point B sur D tel que B(0;-1)
Ainsi, "BA"."n" = (5-0)*3 + (6-(-1))*1 = 15+7 = 22
D'où d = (| « BA ». « n »|) / || « n »||
d ) |22| / 10 = (22;)10)/10 = (11;)10)/5



Mais pour la b), pourriez vous me donner une piste s'il vous plait ..