Distance d'un point par rapport à une droite

[mama00165]

Bonjour,
Voila l'intitulé de mon DM
Exercice 1: Dans le plan muni d'un repère (0,i,j) orthonormé, on considère le droite D d'équation: y=2x+3 et le point A (2,4). Déterminer le point de la droite D le plus proche de A.
J'ai donc commencer à réaliser un graphique, et j'ai remarqué que le distance la plus proche était une droite perpendiculaire, passant par A et coupant la droite d perpendiculairement en un point nommé B; et je me retrouve bloquée ici.
Par avance merci de votre aide

[Tiruxa47]

Bonjour;

La pente de la perpendiculaire est p tel que le produit de deux pentes est égal à -1
Comme celle de D est 2
On cherche p tel que 2p=-1....
à toi de trouver l'équation de la perpendiculaire

[pascal16]

plusieurs façons de faire suivant la leçon en cours.
soit on trouve la pente de la droite perpendiculaire à la première, puis la droite passant par A avec cette pente.
le point recherché est à l'intersection des deux droites.

on prend deux point B et C sur la première droite, on calcule le vecteur BC (fixe)
on pose M un point de la droite d départ, on calcule le vecteur AM (variable)
M est au bon endroit quand BC scalaire Am=0

on pose M un point de la droite d départ, on peut calculer la distance AM

et i l y a sans doute d'autres méthodes.

[mama00165]

Merci beaucoup car je n'aurais pas pu mettre la formule sans expliquer comment je l'ai trouvé je vais donc utiliser une autre méthode.

[laetidom]

. . . sans expliquer comment je l'ai trouvé . . .

Bonsoir,

Ca n'est pas difficile, je vous montre comment démontrer que le produit des pentes = - 1 (droites ) :

Vecteur directeur Droite D1 ; Vecteur directeur Droite D2 ;

(x ; y) ; (- x' ; y')

en traçant à main levée un schéma illustrant ceci :



en prenant la tangente on obtient :

D1 : y = ax + b

D2 : y' = a'x' + b'

les pentes sont a et a'

donc on a

soit

d'où a.a' = - 1

Comprenez-vous ?

[pascal16]

version "je suis en seconde et j'aime les maths".

si M est un point de d, ses coordonnées sont du type (x;2x+3)
(-> notion 1 : appartenance d'un point à une courbe représentative)

la distance AM vaut V((x-2)²+(2x+3-4)²
(-> notion 2 : distance entre deux points du plan)

soit AM = V(5x²-8x+5)
(-> notion 3 : identités remarquable ou double distributivité)

AM minimum si où 5x²-8x+5 est minimum
(-> notion 4 : croissance de la fonction de référence racine et conservation de l'ordre)

on est en seconde, on n'a pas droit au discriminent et "-b/2a" doit être évitée comme formule toute faite.
(-> notion 5 : symétrie de la parabole pour trouver son minimum)
je résous 5x²-8x+5=5 soit x(5x-8)=0, a 2 solution 0 et 8 / 5.
L'axe de symétrie de la courbe est pour (0+8/5)/2 = 8 / 10=4/5

5x²-8x+5 atteint son minimum pour x=4/5
y = 2x+3 = 8 / 5+15/5=23/5

finalement le point recherche est le point de coordonnées (4/5; 23/5)

J'ai fait à en regardant la TV, j'ai vérifié aucun de mes calculs

[Ben314]

Sinon, si on en est à dresser la liste des différentes méthodes, je peut en donner une un peu vicieuse :
On considère la droite D:y=ax+b et le point M:(xo,yo) [avec a,b,xo,yo connus].
L'équation du cercle de centre M et de rayon r est (x-xo)²+(y-yo)²=r². [r pas trop connu pour le moment...]
Chercher l'intersection de ce cercle avec la droite D, ça revient à résoudre (x-xo)²+(ax+b-yo)²=r² qui, est une équation du second degré en x qui va avoir une unique solutions si et seulement si le discriminant est nul.
Or, géométriquement parlant, le seul cas où la droite et le cercle ont un unique point d'intersection est celui où la droite et le cercle sont tangents, c'est à dire celui où r est en fait égal à la distance de M à la droite D.

(méthode un peu rigolote vu que c'est une des rares qui permet d'obtenir la distance de M à D avant d'avoir calculé les coordonnées du projeté de M sur D)

[pascal16]

version Cercle 2.

tu pars d'un cercle de centre A et de rayon 10
tu calcules les 2 points d'intersection avec la droite d.
la point le plus proche de A est le centre du segment défini par les deux intersections


version Cercle 3 (en fait le tracé à la règle et au compas).

tu pars d'un cercle de centre A et de rayon 10
tu calcules les 2 points d'intersection avec la droite d.
tu calcul les intersection des 2 cercles de rayon 20 et de centre les deux intersections trouvées
la droite passant par ces deux dernières intersection passe le point qui est le plus proche de A, on calcul la distance ensuite
(comme quoi la solution la plus simple à la règle et au compas est est loin d'être la plus simple algébriquement)

[pascal16]

On doit aussi pouvoir faire la parabole de centre A et d'axe directeur d, retrouver son sommet S, et la droite SA coupe...

[Ben314]

tu pars d'un cercle de centre A et de rayon 10
tu calcules les 2 points d'intersection avec la droite d.
la point le plus proche de A est le centre du segment défini par les deux intersections

Si ce qui t'intéresse c'est le calcul (et pas le dessin), tu as même pas besoin de calculer les deux points d'intersection : l'abscisse du milieu des deux points, c'est la moyenne des abscisses, c'est à dire la demi somme des racines de ton polynôme, c'est à dire en fait le -b/(2a) de ton équation.

[zygomatique]

salut

pour répondre strictement à la question :

Déterminer le point de la droite D le plus proche de A.

soit H le projeté orthogonal du point A sur la droite D

pour tout point M de d le triangle MAH est rectangle en H donc d'après le T. de P. :

[pascal16]

Je pense que dans la tête du prof, c'est les coordonnées qu'il veut sinon, il n'aurait pas donné l'équation de la droite et les coordonnées de A.
Mais bon, recadrer un sujet quand on s'en est très éloigné, c'est toujours bon.

[zygomatique]

oui bien sur ...

j'ai prouvé la conjecture ...

maintenant je peux éventuellement faire du calcul (car je sais quel calcul il faut faire) ...

[mama00165]

Merci pour toutes vos réponses