Existance de la fonction exponentielle

[Nightmare]

Comme l'expliquait Ben, l'introduction de vn vient principalement de la relation exp(x)exp(-x)=1 qu'on retrouve dans vn(x)=1/un(-x) !

[Anonyme]

Comme l'expliquait Ben, l'introduction de vn vient principalement de la relation exp(x)exp(-x)=1 qu'on retrouve dans vn(x)=1/un(-x) !

Désole mais c'est pas encore clair dans mon esprit.
Pour reprendre:

-On a démontré que si existe alors

-On a démontré que si existe alors on a la relation
et donc pour n assez grand.

Et donc la on se dit que si exp(x) existe et doivent êtres adjacentes et donc on vérifie cela ?

[Nightmare]

exp(x) n'est pas égal à un(x), mais à la limite de un(x) lorsque n tend vers +oo !

Tout ce qu'on dit, c'est que vu que la limite de u(n) est la même que celle de 1/un(-x), il est fort probable que ces dernières soient adjacentes.

[Anonyme]

Merci Nightmare et Ben.

Autre chose est ce qu'on peut démontrer que converge sans utiliser et les suites adjacentes ?

[Anonyme]

En relisant un peu:

si elle existe, elle coïncide avec la fonction .

Cela ne peut-il pas être considéré comme une preuve de l'unicité de la fonction si elle existe ?

[Anonyme]

En y repensant cela me parait tout a fait logique puisqu'on a prouve par la méthode de Euler que:

f(x) existe ===> f(x)= limite de u_n

Donc si f(x) existe elle est unique.

Vos avis ?

[Nightmare]

La seule chose qui rend f unique est la valeur qu'on lui affecte en 0. Il n'existe pas qu'une seule solution à l'équadiff y'=y, mais une unique dont le graphe passe par (0,1) par exemple, et ici c'est la fonction exponentielle. On obtient les autres en multipliant par un réel k quelconque.

Cela dit effectivement, si on montre que f, vérifiant l'équadiff et passant par (0,1) est limite simple d'une certaine suite de fonction alors bien évidemment cela prouve son unicité. Mais ce n'est bien entendu pas le plus simple pour le faire, sachant que la preuve de l'unicité tient en une ligne :lol3:

[Anonyme]

Mais ce n'est bien entendu pas le plus simple pour le faire, sachant que la preuve de l'unicité tient en une ligne :lol3:

Oui je sais :lol3: mais j'ai remarque qu'on peut déjà le déduire de la méthode de Euler.

Merci Nightmare (comme d'habitude :zen: )

[Nightmare]

Puisque le sujet à l'air de t'intéresser, je pense que tu pourrais fouiner un peu dans l'idée suivante :

Partons de . Naturellement, lorsqu'on a une dérivée et qu'on cherche la fonction d'origine, on a envie d'intégrer. Bien entendu, ici, on ne pourrait qu'écrire que ce qui ne semble pas nous aider puisqu'on ne connait pas non plus .

Ce qui est intéressant par contre dans cette écriture, c'est qu'on peut la réitérer, on a par exemple et du coup etc..

En fait, l'idée qui vient alors est de considérer la suite (de fonctions) définie par :


On montre que, pour n'importe quel x, cette suite converge vers un réel y(x) qui vérifie (ie, vérifie notre équadiff). C'est cette fonction y (qui à tout x associe la limite de la suite ) qui est notre fonction exponentielle.

Cette partie en italique ne t'est pas abordable par manque d'outil mais je pense que tu peux en comprendre l'essence. C'est le principe de la démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire.

[Anonyme]

Merci beaucoup même si j'ai pas tout compris faute de notions. Mais j'ai bookmarker cette page et j'y reviendrai certainement des que j'aurais bien acquis les notions utilisées. :zen: