DM logarithmes et exponentielles

[Childou]

bonjour je suis bloqué sur quelques questions de mon DM

Sujet:
On désigne par a un réel strictement positif et différent de 1.
On se propose de rechercher dans l'intervalle ][, les solutions de l'équation
Ea:
I. Etude de quelques cas particuliers
1. Vérifier que les nombres 2 et 4 sont solutions de l'équation E2.
2. Vérifier que le nombre a est toujours solution de l'équation Ea.
3. On se propose de démontrer que e est la seule solution de l'équation Ee.
On note h la fonction définie sur l'intervalle ][ par h(x)= x-elnx.
a. On rappelle que lorsque t tend vers , alors tend vers
Démontre que
b. Déterminer les limites de h en 0 et
c. Etudier les variations de h sur ][
d. Dresser le tableau des variations de h et en conclure quant aux solutions de l'équation Ee.

Voici mes réponses:

1. j'ai mis et sous une racine carré pour trouvé une solution. J'ai fais de même avec 4
2. Pour cette question j'ai utilisé le même procédé que précédemment.
3.
a. Question de cours, il me suffit juste de regarder la démonstration écrite dans mon cours
b. en 0, j'ai trouvé que h(x) tendait vers 0 et même chose en
c. Pour cette question j'ai dérivé h(x) et j'obtiens, h'(x)=
après je n'arrive pas à déterminer le sens de variation
d. Je ne pas encore fais cette question

voilà. Alors pourriez-vous m'aider s'il vous plaît?
Merci d'avance!

[ned aero]

salut,

pour 1 et 2 que trouves-tu?

3)c)

h'= (x-e)/x, x>0 ==> h' du signe de x-e

[Childou]

pour 1 et 2 j'ai fais comme cela:

E2:

x=2
est-ce que ça convient?

[ned aero]

;)(2^x) n'est pas égal à 2

[Childou]

peux-tu me donner un piste pour résoudre l'équation alors?

[ned aero]

rappel:

ln (x^a)= a lnx

[Childou]

donc on en arrive à 2lnx= xln2

[ned aero]

ce n'est pas ce que j'ai voulu dire...

x^a = exp[ln(x^a)]= exp[a lnx] si x>0 mais tu peux partir de celle que tu as écris

[Childou]

je ne comprends pas très bien où il faut en venir
on a :


e(2lnx)= e(xln2)
après on supprime les e

[ned aero]

oui c'est la démarche la plus logique mais toujours pour x>0 ici.

on ne "supprime" pas les exp, on dit que si : exp A= expB ==> A = B ( bijection)

[Childou]

et ça suffira comme conclusion et solution de l'équation?

[ned aero]

sûrement pas! il faut poursuivre...

[Childou]

donc une fois que l'on a e(2lnx)= e(xln2)
on dit alors que 2lnx= xln2 grâce à la bijection
mais après?

[ned aero]

donc lnx/x = ln2/2....

[Childou]

je ne comprends pas comment tu arrives à ceux résultat

[ned aero]

2lnx= xln2, on divise par x partout ==> 2(lnx)/x = ln2

puis on divise par 2 partout ==> (lnx)/x= (ln2)/2

ce qui revenait à diviser par 2x partout

[Childou]

Je vois!!! je comprends maintenant et donc après on en conclut que 2 est une solution de E2. Et on applique la même méthode pour les autres questions

[ned aero]

donc x=2 et on applique ailleurs

[Childou]

ok merci beaucoup
et sinon pourrais-tu me dire si mes limites à la question 3.b sont justes?

[ned aero]

les résultats sont corrects si tu as été rigoureux quand x-> +oo ( il fallait factoriser par x pour lever l'indetermination "+oo-oo" et faire apparaitre en même temps lim lnx/x )