Fonction arcsinus
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par Ben314 » 06 Mar 2010, 00:07
Oui, et cela prouve (de nouveau) la faute de frappe dans le 5) : le 2 qui te manque vient du fait que le 1/2, il n'est pas à la puissance 2k mais à la puissance 2k+1.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par AceVentura » 06 Mar 2010, 00:07
Oui, c'est encore et toujours cette erreur d'énoncé. Merci infiniment Ben.
par AceVentura » 06 Mar 2010, 00:08
Exact ! Bonne nuit ! Je vais reprendre cet exercice à tête reposée. Je pense que je vais en mettre un autre sur le forum dans le week-end, et j'espère que tu pourras encore m'aider :)
par Ben314 » 06 Mar 2010, 00:09
Bon, ce coup çi, j'y vais, bonne nuit....
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par AceVentura » 06 Mar 2010, 01:21
Finalement, je trouve un petit problème dans la toute première question.
En dérivant l'égalité, je trouve par hypothèse de récurrence :
}(x)=)
}'(x)=)
(1-x^2)^{n-1/2}+2x(n-1/2)P_n(x)(1-x^2)^{n-1/2-1}}{[(1-x^2)^{n-1/2}]^2}=)
^{n-1/2}\frac{P'_n(x)+(2n-1)xPn(x)(1-x^2)^{-1}}{(1-x^2)^{2n-1}}=)
+(2n-1)xP_n(x)(1-x^2)^{-1}}{(1-x^2)^{2n-1-n+1/2}}=)
+(2n-1)P_n(x)(1-x^2)^{-1}}{(1-x^2)^{n-1/2}})
Et donc je pose=P'_n(x)+(2n-1)P_n(x)(1-x^2)^{-1})
Mais ça m'a pas l'air d'être un polynôme à cause du coefficient^{-1})
.
Ai-je fait une erreur de calcul ?
Par ailleurs, une autre chose me perturbe :
La récurrence double se fait sur [0,1] ou [0,1[ ?
En dérivant l'égalité, je trouve par hypothèse de récurrence :
Et donc je pose
Mais ça m'a pas l'air d'être un polynôme à cause du coefficient
Ai-je fait une erreur de calcul ?
Par ailleurs, une autre chose me perturbe :
La récurrence double se fait sur [0,1] ou [0,1[ ?
par Ben314 » 06 Mar 2010, 11:11
Tes calculs sont O.K. : On a bien
}(x)=\frac{P'_n(x)+(2n-1)P_n(x)(1-x^2)^{-1}}{(1-x^2)^{n-1/2}})
Mais il ne faut pas oublier que la "définition" de
est :
}(x)=\frac{P_{n+1}(x)}{(1-x^2)^{(n+1)-1/2}})
avec un exposant n+1 en bas. Donc on a :
=(1-x^2)P'_n(x)+(2n-1)P_n(x))
qui est bien un polynôme.
Pour la récurrence double, si tu commence par montrer que\geq 0)
, tu peut effectivement te placer sur [0,1] ou bien sur [0,1[ : c'est comme tu veut.
Mais lorsque tu passe à}(x))
, il faut obligatoirement enlever le point 1 à cause de la division par ^{n-1/2})
Mais il ne faut pas oublier que la "définition" de
avec un exposant n+1 en bas. Donc on a :
qui est bien un polynôme.
Pour la récurrence double, si tu commence par montrer que
Mais lorsque tu passe à
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