Fonction arcsinus

[AceVentura]

Bonjour. J'ai un petit problème avec l'exercice suivant :
1) Pour tout entier , montrer qu’il existe un unique polynôme tel que .

2) Vérifier pour tout que . En déduire que .
En déduire que pour tout .

3) A l’aide la relation polynômiale, déterminer une expression simplifiée de pour tout entier . En déduire explicitement pour tout entier .

4) Déterminer, en primitivant un développement limité usuel au voisinage de 0, un développement limité à tout ordre de la fonction arcsin au voisinage de 0. Retrouver alors pour tout entier .

5) Prouver que, pour tout réel et justifier que la formule précédente est toujours vraie si

6) Montrer que et trouver une formule du même type pour
----

Pour la 1), pas de problème.
Je bloque à partir de En déduire que . Je ne vois pas comment m'y prendre. Vous pouvez m'aidez ? Merci !
:happy2:

[Ben314]

Salut.
Pour la 2) je pense (j'éspère ?) que tu as réussi à obtenir l'égalité.
Que se passe t'il si tu dérive n fois cette égalité ? (on pourra songer à utiliser la formule donnant la dérivée n-ième d'un produit de deux fonctions...)

La suite est plutôt plus simple...

[AceVentura]

Oui, l'égalité est claire. Je n'avais pas pensé à Leibniz !
En dérivant n fois, je pose et . Alors .

Pour k=n,
Pour k=n-1,
Pour k=n-2,

Donc dans la somme, il va rester .

Je trouve ainsi :

[AceVentura]

Donc de même,
je pose et . Alors .

Pour k=n,
Pour k=n-1,
Et le reste est nulle.

Je trouve ainsi :

[AceVentura]

En égalisant, on trouve , soit :



Je vois pas trop ce que je vais en faire

[Ben314]

je te rapelle que la dérivée n-ième de l'arcsinus s'écrit à l'aide du polynôme Pn (c'est d'ailleur la définition des polynômes Pn...)

[mohn]

Pour k=n-2,

Euh... tu es bien sûre de cette ligne ?

Pour k=n-1,

Et de celle-là aussi ?

[AceVentura]

Ah oui ! C'est vrai !

Donc comme , on a :



Ainsi, l'égalité s'écrit :



Donc :

.

Y'a comme une erreur non ?

[mohn]

oui, comme une erreur qui viendrait du fait que la dérivée de l'identité n'est pas nulle...

[AceVentura]

Ok, j'ai compris mon erreur. J'arrive donc bien à l'égalité :
.

Le polynôme s'annule une infinité de fois sur ]-1,1[ donc est nul, d'ou l'égalité
.

Il faut encore faire une récurrence pour prouver que tout ?

[AceVentura]

J'ai une idée, mais pas certain :
Je fais une récurrence double : tous les coefficients du polynômes sont positifs.

On a :
donc , qui est donc à coefficients positifs.
donc , qui est aussi à coefficients positifs.

Dont on déduit sera encore à coefficients positifs.

On suppose la proposition vraie pour un certain rang fixé.
Alors :
est à coefficients positifs ainsi que .
Donc par l'égalité , on en déduit que c'est encore le cas de .
Ceci clos la récurrence.

Par suite on aura .

[Ben314]

On va dire que, pour l'idée et la méthode (montrer que c'est positif par récurrence) c'est O.K., mais pour la preuve elle même, ça ne l'est pas : ta récurrence ne fonctionne pas car, même en supposant que les coeffs de Pn sont positifs, je ne vois pas pourquoi cela impliquerais que ceux de (1-X²)Pn le soit [entre le 1 et le X², il me semble bien que ce n'est pas un +...)
Conclusion : ne cherche pas a montrer plus que ce qu'on te demande.
Montre par récurrence que Pn(x) est positif pour tout x de [0,1] (ce qui n'est pas équivalent à dire que les coeffs de Pn sont positifs, par exemple 1-X² n'est pas à coeffs positif, mais on a quand même 1-x² positif pour x dans [0,1])

[AceVentura]

Oui, c'est vrai !
Donc reprenons :
la récurrence à faire est celle ci



est vrai car pour x dans [0,1] :

et


On a car pour x dans [0,1] :
par hypothèse de récurrence
et
compte tenu de l'hypothèse de récurrence et de ce que les coefficients devant les polynômes sont positifs.

Est-ce mieux ainsi ?

[Ben314]

Nettement mieux...

[AceVentura]

Merci
Donc ensuite , donc .

Et de proche en proche : donc .

J'ai du mal à imaginer ou cela s'arrête :
?

Même si j'ai l'impression que seule les n pairs jouent un rôle :hein:

[Ben314]

Normalement, pour rédiger le résultat "super propre", il faut faire une réccurence et donc plutôt partir de ; ; ; ...
Mais, trés souvent, on rédige comme tu le fait.
Dans ce cas, perso, j'écrit effectivement :
P_n(0) = (n-2)² P_{n-2}(0)
= (n-2)²(n-4)² P_{n-4}(0)
= (n-2)²(n-4)²(n-6)² P_{n-6}(0)
...
= (n-2)²(n-4)²...(n-2k+2)²(n-2k)² P_{n-2k}(0)
et là je vois que la façon dont "ça va se terminer" dépend de la parité de n.

Je te laisse l'écrire (tu devrait retrouver un résultat que l'on peut montrer sans calculs vu la parité de la fonction ArcSin...)

[AceVentura]

Donc si n est pair :

Donc si n est impair :


Mais P_{2}(0) vaut 0, non ?
Donc finalement cela sera .

Je suis pas très certain.

[AceVentura]

tu devrait retrouver un résultat que l'on peut montrer sans calculs vu la parité de la fonction ArcSin...

Je ne vois pas ce que vous voulais dire ?
Je sais que donc , en particulier si n est impair . C'est ce que l'on doit trouver ici ?

[AceVentura]

En fait, c'est le contraire ! La fonction arcsinus est impaire donc c'est bien les n pairs qui sont nuls. Il reste :


Je voudrais le démontrer par récurrence, mais je n'arrive pas à trouver une écriture compressée de .
C'est le produit des , mais k varie de quoi à quoi ?

[Ben314]

Bon, je t'avais mis les trucs en rouge dans l'autre post pour pas que tu te paume.
Tes points de suspension du style (n-2)²(n-4)²...(n-1)², ça veut pas dire grand chose. Si par exemple n=100 alors n-2=98 ; n-4=96 ; n-6=92 ; etc et, si on continue la série, il me semble que ça va pas être façile façile de tomber sur n-1=99 !!!!!

Le truc en rouge, c'était pour que te repère que, lorsque l'on s'arrète à un P_m, le terme que l'on a juste avant, c'est m².
donc, dans le cas n pair, n-2, n-4,... sont pairs et on a :
Pn(0) = (n-2)² (n-4)² ... 4² 2² P2(0) [il me semble que P0 n'existe pas]
Comme P2(0)=0, cela montre que, si n est pair, Pn(0)=0.
C'est ça que l'on pouvait voir dés le début : comme arcsin est impaire, sa dérivée est paire, sa dérivée seconde est impaire, .... et une fonction impaire vaut forcément 0 en 0.

De même, dans le cas n impair, n-2, n-4,... sont impairs et on a :
Pn(0) = (n-2)² (n-4)² ... 5² 3² 1² P1(0)

Si c'est pas super clair, procède "dans l'autre sens", c'est à dire regarde petit à petit ce que permet d'écrire la formule concernant puis puis , etc... jusqu'à ce que tu "voie" la formule générale que tu montre par récurence.