Donc finalement :
si n impair,
si n pair,
Par récurrence
On a
Donc
Pour montrer
Y'a une méthode plus simple ?
EDIT : finalement, c'est très simple en utilisant la formule
Fonction arcsinus
47 messages
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par AceVentura » 05 Mar 2010, 20:04
OK ! Je vois !
Donc finalement :
si n impair,= [(n-1)!]^2)
si n pair,= 0)
Par récurrence\,:\,P_{2n+1}(0)=[(2n)!]^2\,et\,P_{2n}(0)=0)
.
)
est vraie car :
On a=x)
et =P_{1+2}(x)=(2\times 1+1)xP_{2}(x)+1^2(1-x^2)P_1(x)=2x^2+1)
Donc=P_{3}(0)=2\times 0+1=1=[(2\times0)!]^2)
et =0)
.
Pour montrer\Rightarrow p(n+1))
, cela m'a l'air lourd en calcul. En plus, dans la récurrence, il faut traiter 
à part
Y'a une méthode plus simple ?
EDIT : finalement, c'est très simple en utilisant la formule=(n-2)^2P_{n-2}(0))
Donc finalement :
si n impair,
si n pair,
Par récurrence
On a
Donc
Pour montrer
Y'a une méthode plus simple ?
EDIT : finalement, c'est très simple en utilisant la formule
par AceVentura » 05 Mar 2010, 20:15
Donc je trouve }(0)=0)
si n est pair et !]^2)
sinon. Je crois que c'est correct
En ce qui concerne la question 3, j'ai dit que :
=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{-1/2})
Le seul développement que je connaisse et qui s'en rapproche est^a)
, mais le carré me gêne.
En ce qui concerne la question 3, j'ai dit que :
Le seul développement que je connaisse et qui s'en rapproche est
par Ben314 » 05 Mar 2010, 20:51
Me revoila...
Il y a un petit soucis pour le Pn(0) dans le cas impair, c'est que (n-2)(n-4)(n-6)...9.7.5.3.1, c'est pas une factorielle, il n'y a que les termes impairs.
Il y a deux solutions, soit tu le garde comme ça, c'est à dire sous forme d'un produit avec des points de suspension, soit tu veut absolument l'écrire avec des factorielles et c'est un peu astucieux.
D'abord, on a intérêt à écrire n=2m+1 pour bien voir qui est pair et impair dans la formule (au départ, il n'y a que des impairs.
Ensuite, on fait "apparaitre les termes pairs qui manquent :
=1.3.5...(n-4)(n-2)=1.3.5...(2m-3)(2m-1))
(2m-2)(2m-1)2m}{2.4.6....(2m-2)2m}<br />=\frac{(2m)!}{2.4.6....(2m-2)2m})
On a au dénominateur que des termes pairs, plus précicément 2x1, 2x2, 2x3,...,2xm et on peut mettre les 2 en facteurs, il y en a m:
=\frac{(2m)!}{2^m.1.2.3....(m-1)m}=\frac{(2m)!}{2^m.m!})
Ensuite, pour ta deuxième question, les carré n'est pas génant, la formule dont tu parle est valable pour tout x proche de 0, donc tu peut remplace (partout) dans la formule les x par des -x² (puisque -x² est proche de 0 lorsque x est proche de 0)
ça te "fabrique" une nouvelle formule qui est^a=...)
Il y a un petit soucis pour le Pn(0) dans le cas impair, c'est que (n-2)(n-4)(n-6)...9.7.5.3.1, c'est pas une factorielle, il n'y a que les termes impairs.
Il y a deux solutions, soit tu le garde comme ça, c'est à dire sous forme d'un produit avec des points de suspension, soit tu veut absolument l'écrire avec des factorielles et c'est un peu astucieux.
D'abord, on a intérêt à écrire n=2m+1 pour bien voir qui est pair et impair dans la formule (au départ, il n'y a que des impairs.
Ensuite, on fait "apparaitre les termes pairs qui manquent :
On a au dénominateur que des termes pairs, plus précicément 2x1, 2x2, 2x3,...,2xm et on peut mettre les 2 en facteurs, il y en a m:
Ensuite, pour ta deuxième question, les carré n'est pas génant, la formule dont tu parle est valable pour tout x proche de 0, donc tu peut remplace (partout) dans la formule les x par des -x² (puisque -x² est proche de 0 lorsque x est proche de 0)
ça te "fabrique" une nouvelle formule qui est
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par AceVentura » 05 Mar 2010, 21:31
Ok, merci beaucoup.
Donc finalement, comme :
^\alpha =\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n})
On trouve :
^{-1/2} =(-1)^n\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{-1/2\,(-1/2-1)\cdots(-1/2-n+1)}{n!}x^{2n})
Cela doit surement se simplifier.
Déjà, dans le produit \cdots (-1/2-n+1))
, il y un (-1)^n qui sort et donc :
^{-1/2} =\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{1/2\,(1/2+1)\cdots(1/2+n-1)}{n!}x^{2n})
Je ne vois pas d'autres simplifications
Donc finalement, comme :
On trouve :
Cela doit surement se simplifier.
Déjà, dans le produit
Je ne vois pas d'autres simplifications
par Ben314 » 05 Mar 2010, 21:41
Fait gaffe au niveau de la logique de ce que tu écrit : Ici,
le (-1)^n en dehors du sigma ne veut absolument rien dire...
ensuite, lorsque tu "simplifie" le (-1)^n en enlevant tout les moins de toutes les parenthèses, il faut un peu expliquer (et vérifier) qu'il y a bien n parenthèses (s'il y en avait n-1, il resterait un - à la fin)
Enfin, concernant ta dernière formule :
tu devrait mettre chaque parenthèse au même dénominateur :
1/2+1=3/2 ; 1/2+2=5/2 ; ... 1/2+n-1=(2n-1)/2
puis mettre tout les 2 des dénominateurs en facteur.
Normalement, le but est de montrer que le terme devant le x^{2n} est bien le Pn(0)/n! que l'on a trouvé au questions précédentes.
P.S. je suis aussi en train de me rendre compte que, pour trouver la même chose qu'avant, il faudrait aussi "primitiver" comme le dit l'énoncé, vu que les questions d'avant se raportent à la fonction arcsin(x) que est une primitive de (1-x^2)^(-1/2).
le (-1)^n en dehors du sigma ne veut absolument rien dire...
ensuite, lorsque tu "simplifie" le (-1)^n en enlevant tout les moins de toutes les parenthèses, il faut un peu expliquer (et vérifier) qu'il y a bien n parenthèses (s'il y en avait n-1, il resterait un - à la fin)
Enfin, concernant ta dernière formule :
tu devrait mettre chaque parenthèse au même dénominateur :
1/2+1=3/2 ; 1/2+2=5/2 ; ... 1/2+n-1=(2n-1)/2
puis mettre tout les 2 des dénominateurs en facteur.
Normalement, le but est de montrer que le terme devant le x^{2n} est bien le Pn(0)/n! que l'on a trouvé au questions précédentes.
P.S. je suis aussi en train de me rendre compte que, pour trouver la même chose qu'avant, il faudrait aussi "primitiver" comme le dit l'énoncé, vu que les questions d'avant se raportent à la fonction arcsin(x) que est une primitive de (1-x^2)^(-1/2).
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par AceVentura » 05 Mar 2010, 21:51
Je suis allé trop vite !
^{-1/2} =\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n{\frac{-1/2\,(-1/2-1)\cdots(-1/2-n+1)}{n!}x^{2n}})
On va simplifier le produit de n termes :
(-1/2-1)\cdots(-1/2-n+1) = (-1)^n(1/2)(3/2)\cdots (2(n-1)/2) = \frac{(-1)^n}{2^n} 1.3.\cdots 2(n-1))
Donc on fait apparaitre les termes pairs encore :
^n}{2^n} 1.3.\cdots 2(n-1)\times\frac{2.4.\cdots.2n}{2.4.\cdots.2n}=\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{n+1}n!})
D'où :
^{-1/2}=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{n+1}n!}x^{2n}}=\sum_{n=0}^{+{\infty}} \frac{(2n)!}{2^{n+1}n!}x^{2n})
Il n'y a plus qu'à primitiver si je me trompe pas.
On va simplifier le produit de n termes :
Donc on fait apparaitre les termes pairs encore :
D'où :
Il n'y a plus qu'à primitiver si je me trompe pas.
par Ben314 » 05 Mar 2010, 21:57
A (peut être) quelque fautes de frappe prés, celà me parrait parfaitement juste.
Pour le savoir, il te suffit de vérifier qu'en "primitivant" tu tombe bien sur}{(2n+1)!}x^{2n+1})
qui est la formule de taylors vu qu'on sait que la dérivée n-ième de arcsin en 0 est Pn(0).
Pour le savoir, il te suffit de vérifier qu'en "primitivant" tu tombe bien sur
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par AceVentura » 05 Mar 2010, 21:59
Je primitive entre quoi et quoi ?! Et pourquoi peut-on permuter les deux symboles sommes ?
par Ben314 » 05 Mar 2010, 22:02
Si tu as vu les séries entières, il y a un théorème qui dit que, dans ce cas, on peut permuter.
Aprés, vu que arcsin(0)=0, tu prend la primitive qui s'annule en 0 (i.e. qui n'a pas de terme constant dans sa série)
Aprés, vu que arcsin(0)=0, tu prend la primitive qui s'annule en 0 (i.e. qui n'a pas de terme constant dans sa série)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par AceVentura » 05 Mar 2010, 22:16
Donc j'écris :
je prend t tel que
. Comme il y a convergence normale de la série entière sur tout compact de ]-1,1[, on en déduit la convergence uniforme sur le compact [0,t] ce qui autorise à permuter les symboles sommes :
^{-1/2}dx=\int_{0}^t\sum_{n=0}^{+{\infty} } \frac{(2n)!}{2^{n+1}n!}x^{2n}dx=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(2n)!}{2^{n+1}n!(2n+1)}t^{2n+1})
Nous sommes censés retrouver
mais ça n'a pas l'air d'être le cas :mur:
je prend t tel que
Nous sommes censés retrouver
par Ben314 » 05 Mar 2010, 22:24
Bon, tout d'abbord, reconnais que ça ressemble quand même pas mal à ce qu'on devrait trouver, et vu la quantité de calculs, je trouve déjà ça pas si mal !!! :zen:
Bon, évidement, il y a (au moins) une erreur quelque part.
En regardant en diagonale, je me demande si les carrés que l'on avait au début dans les (n-2)²(n-4)²... on les a pas un peu mis à la poubelle...
Il risque d'y en avoir d'autres du même accabit...
Essaye de regarder dans ton coin (moi, tu pense bien que, fort comme je suis pour donner des tas de conseils aux autres, je fait jamais le moindre calcul moi même :doh:)
J'essaye aussi de regarder...
Bon, évidement, il y a (au moins) une erreur quelque part.
En regardant en diagonale, je me demande si les carrés que l'on avait au début dans les (n-2)²(n-4)²... on les a pas un peu mis à la poubelle...
Il risque d'y en avoir d'autres du même accabit...
Essaye de regarder dans ton coin (moi, tu pense bien que, fort comme je suis pour donner des tas de conseils aux autres, je fait jamais le moindre calcul moi même :doh:)
J'essaye aussi de regarder...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Ben314 » 05 Mar 2010, 22:51
Effectivement, on a oubliè les carrés à un moment :
=\frac{\big((2n)!\big)^2}{2^{2n}(n!)^2})
Comme=P_n(0))
, la formule de Taylors donne (vu que =0)
) :
<br />=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{P_{2n+1}(0)}{(2n+1)!}x^{2n+1}<br />=\sum_{n=0}^{\infty}\,\frac{\big((2n)!\big)^2}{(2n+1)!\,2^{2n}(n!)^2}\,x^{2n+1} <br />=\sum_{n=0}^{\infty}\,\frac{(2n)!}{(2n+1)\,2^{2n}(n!)^2}\,x^{2n+1})
vu que!}{(2n+1)!}=\frac{1}{2n+1})
Aprés, dans ton dernier post, il y a deux-trois erreurs bébètes, en particulier des termes "paumés" en route (oublié de les recopier)
Normalement, tu devrais bien trouver ce qu'il y a juste au dessus.
Comme
vu que
Aprés, dans ton dernier post, il y a deux-trois erreurs bébètes, en particulier des termes "paumés" en route (oublié de les recopier)
Normalement, tu devrais bien trouver ce qu'il y a juste au dessus.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par AceVentura » 05 Mar 2010, 22:51
Cela y ressemble en effet !
Déjà ce qui est sûr c'est que}(0)=P_n(0))
et que donc de fait n est forcément pair par ta remarque.
Donc dans toute la suite on écrit n=2p. J'ai beau retourner les calculs dans tous les sens, rien n'aboutit ;/
Déjà ce qui est sûr c'est que
Donc dans toute la suite on écrit n=2p. J'ai beau retourner les calculs dans tous les sens, rien n'aboutit ;/
par Ben314 » 05 Mar 2010, 23:01
Non, si tu veut trouver la bonne primitive, il faudrait trouver
^{-1/2}=\sum_{n=0}^{+{\infty} } \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}x^{2n})
Le factorielle n qui manque, c'est juste que tu as oublié de le recopier à un moment et le 2^n, il me semble que c'est pareil.
Essaye de réécrire ce passage calmement (en repartant de zéro, sinon t'est sûr de recopier les même conneries...)
Le factorielle n qui manque, c'est juste que tu as oublié de le recopier à un moment et le 2^n, il me semble que c'est pareil.
Essaye de réécrire ce passage calmement (en repartant de zéro, sinon t'est sûr de recopier les même conneries...)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par AceVentura » 05 Mar 2010, 23:14
C'est bon ! Ca marche !
Donc après, pour l'écrire sous la forme
=\sum_{k=0}^{+\infty}C_{2k}^k \frac{x^{2k}}{2^{2k}(2k+1)})
On a!}{(k!)^2})
.
Donc=\frac{\big((2k)!\big)^2}{2^{2k}(k!)^ 2}=C_{2k}^k\frac{(2k)!}{2^{2k}})
.
Il va juste manquer un x en fait, dans la somme c'est
et il faut du 
:/
Donc après, pour l'écrire sous la forme
On a
Donc
Il va juste manquer un x en fait, dans la somme c'est
par Ben314 » 05 Mar 2010, 23:42
Là, c'est "les doigts dans le nez" : FAUTE DE FRAPPE DANS L'ENONCE
arcsinus est impaire donc il n'y a que des x^impairs dans sa série : tu rajoute discrétos un 2n+1 dans l'énoncé et tu continue...
arcsinus est impaire donc il n'y a que des x^impairs dans sa série : tu rajoute discrétos un 2n+1 dans l'énoncé et tu continue...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par AceVentura » 05 Mar 2010, 23:58
Merci. J'ai bien traiter la question d'après en disant que si 
alors |x| est dans [0,1[ et en utilisant le fait que arcsinus est impaire.
Par contre, je me demande quelle valeur il faut prendre pour
!
Par contre, je me demande quelle valeur il faut prendre pour
par Ben314 » 06 Mar 2010, 00:00
Bon, comme je vais me coucher, je te donne l'indic pour les deux derniers (au cas où) :
Il suffit évidement d'appliquer la dernière formule avec deux 'x' particulier.
Comme des 'x' pour lesquels on connait bien la valeur de arcsin(x), il y en a vraiment pas des tonnes, je te laisse trouver lesquels il faut prendre...
Si tu ne trouve pas, tu met "surligne avec la souris la fin de ce post : je te met les soluces mais écrites en blanc :
Pour la première, prendre x=1/2 : arcsin(1/2)=pi/6
Pour la seconde, prendre x=racine(2)/2 : arcsin(racine(2)/2)=pi/4 puis multiplier des deux cotés par racine(2) , il ne doit plus y avoir de racines dans la somme de droite
Il suffit évidement d'appliquer la dernière formule avec deux 'x' particulier.
Comme des 'x' pour lesquels on connait bien la valeur de arcsin(x), il y en a vraiment pas des tonnes, je te laisse trouver lesquels il faut prendre...
Si tu ne trouve pas, tu met "surligne avec la souris la fin de ce post : je te met les soluces mais écrites en blanc :
Pour la première, prendre x=1/2 : arcsin(1/2)=pi/6
Pour la seconde, prendre x=racine(2)/2 : arcsin(racine(2)/2)=pi/4 puis multiplier des deux cotés par racine(2) , il ne doit plus y avoir de racines dans la somme de droite
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par AceVentura » 06 Mar 2010, 00:05
Avec x=1/2, je trouve :
=\sum_{k=0}^{+\infty} C_{2k}^k\,\frac{(1/2)^{2k}}{2^{2k}(2k+1)})
Donc :
})
Et j'ai comme l'impression qu'il va manquer un facteur 2 quelque part !
})
Donc :
Et j'ai comme l'impression qu'il va manquer un facteur 2 quelque part !
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